标记为刚性的主动问题-MathOverflow

标记为刚性的主动问题-MathOverflow mathoverflow.net上最近的30个 2024-06-01T09:43:03Z https://mathoverflow.net/feeds/tag？标记名=刚性&sort=最新 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://mathoverflow.net/q/466455 11 凸多面体是由其边长和角度缺陷决定的吗？ M.冬季 https://mathoverflow.net/users/108884 2024-03-05T18:07:48Z 2024-03-16T16:38:14Z

让我们考虑三维<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/多面体“rel=”noreferrer“>凸多面体</a>$P\subset\Bbb R^3$。<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_defect（英文）顶点处的“rel=”noreferrer“>$v$角缺陷</a>是$v$减去$v$处入射面的内角之和<区块报价>问题： 凸多面体是由其边缘图、边缘长度和角度缺陷决定的（直到等距）吗（第页）</blockquote>如果是，这意味着<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Axandrov%27s_uniqueness_theorem#：%7E:text=The%20Alexandrov%20uniquencienty%20theathem%20是，在%20上的%20点%20之间。“rel=”noreferrer“>Alexandrov的唯一性定理一种可能的方法是将其简化为亚历山德罗夫定理。我们可以根据边长和角度缺陷重建度量吗（第页）

https://mathoverflow.net/q/372948 5 树宽最大为4的图的禁止未成年人奥巴龙顺 https://mathoverflow.net/users/165923 2020-09-30T09:17:31分 2024-02-14T18:58:25Z

我对树宽为5的图感兴趣，因为它们与图的实现维度（<a href=“https://link.springer.com/article/10.1007/s00454-006-1284-5“rel=”nofollow noreferrer“>请参阅此处）在<a href=“https://smartech.gatech.edu/handle/1853/30061“rel=”nofollow noreferrer“>这篇博士论文</a>给出了树宽最多为4的图的75个最小禁止子图不幸的是，我无法阅读上述论文。有人知道其中的一些或完整列表吗（除了$K_6$）（第页）或者，有没有树宽为5的图的简单例子（不一定是最小的）？我知道$K_6$和$5\乘以5$</sspan>网格图具有此属性（第页）

https://mathoverflow.net/q/463384 0 有多少刚性4正则图？多莫托普 https://mathoverflow.net/users/955 2024-02-02T20:42:47Z 2024-02-02T20:42:47Z

我对$n$顶点上的全局刚性4正则图或至多4次的Laman图的数量的任何公式感兴趣。边界可以是带有标记或未标记顶点的图（第页）

https://mathoverflow.net/q/461847 三 Hopf代数体的Tannaka对偶 Max Demirdilek公司 https://mathoverflow.net/users/160778 2024-01-09T11:49:41Z 2024-01-09T11:59:25Z

设置设$k$是一个字段，$a$</sspan>是有限维$k$代数，以及具有可逆对极的$a$>上的Hopf代数体。用$\operatorname{mod}（H）$表示有限维左模块的范畴。它通过使用$H$的$a$</sspan>-取芯结构而成为单体范畴。注意，使用这种单体结构<a href=“https://arxiv.org/pdf/2308.01029.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>$\operatorname{mod}（H）$带有$\operatorname的自治结构{Hom}k（_k）（A，k）$二元化对象的底层$k$</sspan>向量空间。设$\operatorname{bimod}（A）$是其基本向量空间是有限维的$A$</sspan>-双模的范畴（第页）用忘记函子$U\colon\operatorname{mod}（H）\rightarrow\operator name{bimmod}（A）$表示。更一般地说，让$\mathcal{C}$是一个abelian，$k$</sspan>是线性的，本质上很小的，自治的范畴，并且让$\ast$$F:\mathcal{C}\rightarrow\operatorname{bimod}（A）$$k$-线性、精确、忠实函子，具有强单体结构。请注意，对于目标类别$\operatorname｛bimod｝（A）$的任何函子$G$，内同态代数$\operatorname｛End｝（G）$都是$A$-双模。左$A$-动作由同构$$A\rightarrow\operatorname{End}（G）诱导；a\mapsto\{\lambda_{G（X）}（a）：G（X”）\rightarrow G（X，）\}_X.$$这里，$\lambda{G（X）}\colon a\rightarrow\operatorname{End}（G（X$右$A$-$\operatorname{End}（G）$</sspan>的操作是类似定义的（第页）问题是映射$$\operatorname{End}（F）\otimes_A\operator name{End\}（F）\rightarrow\operatoriname{End}（F\boxtimes F）；\phi\otimes_A\psi\mapsto\｛\phi_X\otimes_A\psi_Y\｝_｛X，Y｝$-双模的同构？这里，$F\boxtimes F$表示在对象上由$（F\box-times F）（X，Y）=F（X）\times_A F（Y）$给出的双分母。如果我们考虑$F$的严格单体遗忘函子$U:\operatorname{mod}（H）\rightarrow\operator name{bimod}（第页）备注</强烈>如果将Hopf代数体$H$替换为$k$</sspan>上的Hopf代数学$H$，则类别$\operatorname{bimod}（a）$替换为有限维类别>$k$-向量空间$\operatorname{vect}$被赋予了一个强单体结构，可以使用coend演算证明$k$</sspan>-代数$\operatorname{End}（G）\otimes_a\operator name{End}（G）$</spa>和$\operatorname{End\End}（G\boxtimesG）$</span同构；请参阅<a href=“https://math.stackexchange.com/questions/4480469/isomorphism-between-operatornameendf-otimes-f-and-operatornameendf“>这里</a>。对于一般的Hopf代数体设置，这些coend计算失败，因为$\operatorname{bimod}（a）$通常既不是刚性的（但$\ast$</sspan>是自治的），也不是对称的单体

https://mathoverflow.net/q/373828 11 如何正确表述柯西刚性定理？ M.冬季 https://mathoverflow.net/users/108884 2020-10-11T12:36:23Z 2024-01-06T03:38:00Z

<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_ethegorithm_（几何）“rel=”noreferrer“>Cauchy刚性定理<区块报价>任何两个（凸的，三维）多面体具有成对的全等面，它们本身是全等的</电子邮箱></blockquote>作为对一般维度的一个更正式的推广，人们通常会读到这样的内容（也称为亚历山德罗夫定理，另请参见<a href=“https://mathoverflow.net/questions/332001/alexandrovs-generalization-of-cauchys-rigidity-定理“>此处</a>）：<区块报价>定理（天真）给定两个组合等价多胞[$P_i\subset\Bbb R^{d_i}，i\in\{1,2\}，d_i\ge 3$，并设$\phi:\mathcal F（P_1）\to \mathcalF（P_2）$</sspan>为相应的面态同构。然后，如果每个facet$\sigma\ in \mathcal F（P_1）$与对应的facet$\phi（\sigma）\ in \mathcal F（第页）</blockquote>除了这个公式是不正确的，特别是在第三维度！例如，考虑Matt F.发现的以下两个组合等效多面体（超过<a href=“https://mathoflorow.net/a/372286/108884（网址：https://mathoflorow.net/a/372286/108884）“>此处</a>）并由描述მამუკა ჯიბლაძე （超过<a href=“https://mathoverflow.net/a/372979/108884“>此处</a>）：<img src=“https://i.sstatic.net/MMcDmD.png（网址：https://i.sstatic.net/MMcDmD.png）“width=”550“/>任何一个多面体都由两个叠层扭曲的反棱镜组成，这两个反棱镜都是手性的，并且根据每个反棱镜的方向，得到的多面体在度量上是不同的，即使相应的面（也称为面）是一致的（第页）为了解决我知识中的这个矛盾，我查阅了多面体柯西刚性定理的常用证明。似乎每个证明都使用了一个常常没有明确说明的成分：不仅对应的面必须是全等的，而且对应的面的内角也必须相等。对我来说，这是一个惊喜，因为我一直认为柯西定理因其相对较弱的假设而特别优雅。然而，这种微妙之处使我不清楚对更高维度的正确概括应该是什么显然，人们也可以用匹配的边长而不是匹配的内角来公式化定理，这让我对泛化可能是什么样子产生了以下猜测：<区块报价>定理（更好）[…]如果每个（适当的）面$\sigma\in\mathcal F（P_1）$与对应的face（P_2）$\phi（\sigma）一致>$P_2$是一致的（第页）</blockquote>我强调了相关的变化：我们要求所有（适当的）面是成对一致的，而不仅仅是面（第页）<小时/><区块报价>问题1:这是一个正确的概括吗（第页）</blockquote><区块报价>问题2：我们是否需要对维度进行此修改$d\ge 4$，或者是；天真；版本仍然有效，除了维度3（第页）</blockquote><小时/>这是另一个观察结果，这让我很惊讶。与其通过要求全等面使多胞体刚性化，还不如要求全等的2面（可能还有边）：<区块报价>定理[…]如果每个边和每个2-面$\sigma\in\mathcal F（P_1）$与其对应的图像一致>$P_2$是一致的（第页）</blockquote>因为如果所有边和所有2个面都是成对同余的，那么3个面（经典柯西）也是如此，4个面（广义柯西）和5个面也是如此。。。，和刻面（第页）也许在$d\ge 4$中，只需要两个面就足够了。这感觉与通常的柯西定理完全相反，但本质上是相同的（第页）

https://mathoverflow.net/q/407945 三莫斯托刚性定理的反例 GSM（全球移动通信系统） https://mathoverflow.net/users/17895 2021-11-07T14:31:55Z 2023-12-11年20:40:09 z

我正在寻找两个无边界3-流形（具有无限双曲体积）的可定向双曲完备$M$和$N$</sspan>的例子，这样$\pi_{1} M（M）\丛\pi_{1} N个$但$M$与$N$不等距（第页）有这样的具体例子吗（第页）

https://mathoflorow.net/q/460004（网址：https://mathoflorow.net/q/460004） 0 对于$n>3，$\mathbb{R}^n$中截面曲率为常数的$2$-dim球面的刚度$ 马特 https://mathoverflow.net/users/100486 2023-12-08T13:43:34Z 2023-12-11T15:48:30Z

如果存在平滑等距嵌入$f:（S^2，g）\rightarrow\mathbb{R}^n$，其中$（S^2,g）$</sspan>是一个具有黎曼度量的球体，因此相应的截面曲率等于>$n\geq 4$。$f（S^2）$总是$\mathbb{S}^2\substeq\mathbb{R}^n$</sspan>模是$\mathbb{R}^n$的等距吗（第页）

https://mathoverflow.net/q/455327 1 证明框架局部刚性的方法 Pritam Majumder公司 https://mathoverflow.net/users/23980 2023-09-26T12:03:27Z 2023-09-27T15:47:59 Z

给定一个（杆和关节）框架/链接，我想知道有什么可能的方式来表明框架是局部刚性的。此外，关于检查给定框架是否局部刚性的计算复杂性，我们知道什么（第页）注意，我说的是局部刚度，而不是无穷小刚度。检查无穷小刚度很容易（只需计算刚度矩阵的秩）。此外，众所周知，对于泛型框架，无穷小和局部刚度是等价的。现在我想知道以下显示局部刚性的方法是否有效。给定一个框架，我稍微扰动节点使其通用。现在我检查一下这个新框架的刚度（或相当于无穷小的刚度）。它是否保证了原框架的刚性（第页）我遇到了一个特定的标准（<a href=“https://en.m.wikipedia.org/wiki/Chebychev%E2%80%93Gr%C3%BCbler%E2%80%93Kutzbach_criterion“rel=”nofollow noreferrer“>https://en.m.wikipedia.org/wiki/Chebychev%E2%80%93Gr%C3%BCbler%E2%80%93Kutzbach_criteration</a>），用于计算给定连杆的自由度。虽然我不完全理解，但似乎可以说平面上的框架是刚性的，如果$m\geq 2n-3$，其中$m$</sspan>是边的数量，而$n$</spa>是顶点的数量。但它当然不适用于所有（甚至通用）框架。我想知道这个标准实际适用于哪些框架。如果我误解了标准，请纠正我一篇相关的帖子（等待回答），要求证明特定框架的局部刚性：<A href=“https://math.stackexchange.com/questions/4774712/is-k-3-3-with-vertices-on-a-circle-locally-rigid-in-the-plane">https://math.stackexchange.com/questions/4774712/is-k-3-3-with-vertices-on-a-circle-locally-rigid-in-the-plane</a>

https://mathoverflow.net/q/453909 0 处于一般位置的框架局部刚性但不是无限小刚性 Pritam Majumder公司 https://mathfoverrow.net/users/23980 2023-09-03T06:59:34Z 2023-09-03T06:59:34Z

Asimow和Roth的经典定理表示，对于一般框架（即节点的坐标在代数上独立），局部刚度和无穷小刚度是等价的。我想知道，如果我们替换，这个定理怎么会失败；泛型“”由&quot；（仿射）一般立场；。所以我的问题是：哪些框架的节点处于一般位置且局部刚性，但不是无限小刚性（第页）

https://mathoverflow.net/q/452773 0 哪些多边形可以折叠成边？ Pritam Majumder公司 https://mathoverflow.net/users/23980 2023-08-15T08:04:26Z 2023-08-15T08:38:15Z

在玩杆和关节链接时，我注意到常规三维立方体的骨架可以折叠成单边（这可以通过首先弯曲立方体使其成为星形（非凸）对象，然后将星形折叠成单条边来实现）。这种多面体的其他例子是以凸2k-gon为底的等边棱镜，它也可以折叠成边（事实上，立方体也是这种多面体的特例）。我想知道还有哪些等边多边形具有这种性质？有可能将这种多胞体特征化吗（第页）让我注意一些观察结果。在二维中，很容易检查一个等边凸多边形是否可以折叠成边，当且仅当它有偶数个顶点时。在三维中，可折叠到边的一个必要条件是骨架没有奇数圈，即骨架图是二部的。我想知道这个条件是否也足够，也就是说，每个具有二部骨架的等边凸多面体都可以折叠成一条边，这是真的吗（第页）最后，如果三维中的答案很容易，我想知道在更高的维度中会发生什么，也就是说，这些问题是否可以在更高维度中提出，以及它们是否有任何有趣的答案（第页）

https://mathoverflow.net/q/449997 2 关于平面上的刚性图普里塔姆·马朱姆德 https://mathoverflow.net/users/23980 2023-07-02T13:32:58Z 2023-07-02T13:32:58Z

引用Lovasz的《图与几何》一书（第272页），我们得到了关于窗格中刚性图的特征的以下定理（第页）定理1：图$G$在平面上是刚性的当且仅当每次分解为至少有一条边的图的并集时，我们有$$\sum_i（2|V（G_i）|-3）\geq2n-3，$$其中$V（G_i）$表示$G_i$的顶点集，$n$是$G$的顶点数（第页）定理2：设$G$是节点上的多重图$G$包含$G$$G的边不相交生成树当且仅当对于$V（G）$的每个分区，连接不同类的边数至少为$k（|\mathcal{P}|1）$（第页）书中声明（没有证明），我们有上述定理的以下推论（第页）推论：图在平面上是刚性的当且仅当通过加倍$G$的边而获得的每个图都包含两个边不相交的生成树（第页）我想知道推论如何遵循定理1和定理2。也许这很容易，但我不知道怎么做。任何帮助都将不胜感激（第页）

https://mathoverflow.net/q/424760 8 笛卡尔单体恒星自治范畴 Max Demirdilek公司 https://mathoverflow.net/users/160778 2022-06-15T12:01:57Z 2023-05-03T14:52:25Z

免责声明：这是一个十字柱（参见<a href=“https://math.stackexchange.com/questions/4466696/cartesian-monidal-star-autonomous-categories网站“>MathStackexchange</a>）。如果不赞成交叉发布，请致歉。然而，在Stackexhange上，似乎没有多少人熟悉恒星自主类别1。问题 任何刚性笛卡尔单体范畴都是平凡的（请参见<a href=“https://math.stackexchange.com/questions/1042126/is-there-a-specialname-or-any-research-on-cartesian-compact-closed-categories“>这里</a>）。星体自治是刚性的推广。有星体自治笛卡尔单体范畴的（非平凡的）例子吗？甄琳和马丁·布兰登堡关于刚性情形的论点似乎都不容易适用于星体自治范畴2。附加备注 我使用以下定义： 单体范畴$（C，otimes，I）$具有星自治结构，如果存在与逆范畴$S:C^{op}\xrightarrow{\sim}C$</sspan>等价的范畴>$S'$这样就有了双宾语$\phi_{X，Y，Z}:\operatorname{喇叭}_C（X\otimes Y，SZ）\xrightarrow{\sim}\operatorname{喇叭}_C（X，S（Y\otimes Z））$$X，Y，Z.$自然我尝试了偏序集和单调映射的Pos类别。这个类别是笛卡尔闭合的。产品就是产品订单。通过设置$$f\leqg\text{for}f，g:X\rightarrowY\text{if}f（X）\leqg（X）\text{for all}X\，两个偏序集之间的单调映射集成为偏序集。$$$这个类别是否承认星自治结构？它甚至是自对偶的吗？如果在对象上设置$S（X）：=X^{op}$与对偶偏序集$X^{op}$，我不清楚如何定义态射上的映射以获得对偶函子。在sup-lations类别中，这样的定义是可能的，但它使用了连接的存在性（第页）

https://mathfoverrow.net/q/434771 17 十二面体是否灵活（作为具有固定边长的多面体）？ M.冬季 https://mathoverflow.net/users/108884 2022-11-17年T13:21:40 Z 2022-11-17 T14:52:37 Z

考虑<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_dodecahedron“rel=”noreferrer“>（正则）十二面体</a>$D\subet\Bbb R^3$。我想不断地使它变形，以便在整个变形过程中<ol><li>它是一个凸多面体</li><li>它保持一个组合十二面体（即其边图不变），并且</li><li>所有边长保持不变</li></ol>我可以这样做吗如果不是，我可以为不一定是正则的十二面体的其他实现做这件事吗？如果是，这对所有实现都可能吗（第页）<img src=“https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/Dodechedron.jpg“width=”200“>

https://mathoverflow.net/q/432191 三用固定差速器缩小磁盘丹尼尔·卡斯特罗 https://mathoverflow.net/users/171439 2022-10-11T01:17:57Z 2022-11-02T14:22:43Z年

考虑从$\mathbb{R}^2$到带有微分的映射\开始{align}\mathsf{d}f=\begin{pmatrix}\cos\psi（x）和；\cos\phi（y）\\\正弦\psi（x）&amp；\sin\phi（y）\结束{pmatrix}，\结束{align}是满足$0&lt的任意函数；\psi（x）-\phi（y）&lt；\pi$。（这里，$x$和$y$是笛卡尔坐标。）是否存在一个同胚磁盘到磁盘（半径相同或更小）的映射（第页）（在尝试了一系列可能的函数后，我想答案是否定的，但应该有一个通用的证明。）

https://mathoverflow.net/q/424794 2 星形自治范畴中的右单位子 Max Demirdilek公司 https://mathoverflow.net/users/160778 2022-06-15T20:17:29Z 2022-06-15T20:17:29Z

1.上下文 设$（C，otimes，I，a，l，r）$是单体范畴。这里，$r$表示正确的单位。假设$S:C^｛op｝\xrightarrow｛\sim｝C$是具有逆$S'$的类别的等价物。假设存在双宾语$\phi_{X，Y，Z}:\operatorname{喇叭}_C（X\otimes Y，SZ）\xrightarrow{\sim}\operatorname{喇叭}_C（X，S（Y\otimes Z））$$X，Y，Z$中的天然元素。这使得$C$成为一个星型自治类别。注意，我们不假设$S$是单体等价。为了简单起见，假设关联符$a$是恒等式，而$S$</sspan>和$S'$</spa>是严格的倒数（第页）将函子$⅋：C\times C\rightarrow C$定义为组合$C\timesC\right arrow{\tau}C\timers C\riftarrow{。这里，$\tau$表示切换组件的函子，而$\times^{op}$是https://ncatlab.org/nlab/show/oversate+category#opposite_functors“rel=”nofollow noreferrer“>单体乘积$\times$的反函子2.问题 等式$$\phi_{A⅋B，I，S'B\otimes S'A}（r_{A \8523；B}）=\operatorname{id_A}\：\phi_{B，I、S'B}（r_B）$$$是否适用于任何两个C$中的$A，B\对象（第页）在具有常见对偶函子的域上的有限维向量空间的单体范畴中（以及由于对刚性结构的协整和求值的标准选择而产生的对$\phi$的选择），等式成立。这基本上是根据我的回答得出的https://math.stackexchange.com/questions/4459091/unitors-in-star-autonomous-categories“>这里的</a>以及左单位是自然的这一事实。对于因coevaluation/evaluation变化而产生的任何其他$\phi$选择，等式仍然成立。更准确地说，我们可以缩放每个coevaluation$\text{系数}X（_X）：k\rightarrow X^*\通过非零标量$\lambda_X$显示X$</span。这将按$\lambda_X$缩放任何$\phi_{-、X、-}$。然后等式仍然成立，因为等式的两边都按$\lambda_I$缩放（第页）我尝试了其他的例子（尤其是非刚性的例子），但都没有成功。什么地方是寻找平等反例的好地方？特别是，我意识到我不知道$\phi_{X，Y，Z}:\operatorname的自然转换是什么{喇叭}_C（X\otimes Y，SZ）\xrightarrow{\sim}\operatorname{喇叭}_C（X，S（Y\otimes Z））$类似于许多非刚性、非势能星体自治类别（例如超晶格、相干空间、相空间的类别）。我经常可以证明自然的转变是存在的，但事实证明，弄脏我的手相当困难。在此方面的任何帮助都将不胜感激（第页）

https://mathoverflow.net/q/63510 三下面的二维图形可能是全局刚性的吗？用户14324 https://mathoverflow.net/users/14324 2011年4月30日T07:21:24Z 2021-10-04T23:51:58兹

考虑二维非平面图$G$，其拓扑和边长度已知，但顶点坐标未知。我们进一步规定：<ol><li>彼此之间距离$d\leq T$内的所有顶点共享一条边（第页）</li><li>没有用距离$d&gt；分隔的顶点；T$共享优势（第页）</li><li>对于任何顶点，在阈值连接距离$T$内，都存在最小的顶点局部密度，即$M$</sspan>（第页）</li><li>每个顶点的最小阶数为$\geq 6$（其中下限连接性可以根据需要进行调整）。这意味着二维图形$G$至少是6连通的，并且需要删除至少六条边才能断开连接（第页）注：非常感谢JC在[Jackson and Jordán，2005]中指出的推论：；。。。作为二维通用框架的6连通图的每一种实现都是唯一的实现&quot（第页）</li><li>$G$的实值顶点坐标集$S$</sspan>是在小的固定距离内没有坐标的约束下，以均匀随机概率在某个区间内顺序选择的，一个接一个。这意味着坐标在代数上是独立的（第页）</li></ol>我们从萨克斯了解到http://www.cs.duke.edu/brd/Teaching/Bio/asmb/current/Readings3/hendrickson-conditions.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>1</a>与图实现问题一样，决定图实现问题在二维（和高维）空间中是否存在唯一解的广义问题是NP-hard。然而，这些证明依赖于具有某些病理特性的图[2]如果对$G$进行上述描述，是否有任何启发或进一步的限制可以让我自信地说$G$是刚性的？幸运的是，是否有多项式时间算法来解决$G$的图形实现问题，即使用边长度集$R$</sspan>来查找每个顶点的坐标（可能会出现一些错误，$\epsilon$</spa>）?（第页）参考文献：<ol><li>Saxe，J.B.加权图在k空间中的可嵌入性是强NP-hard的。技术报告，卡内基梅隆大学计算机科学系，宾夕法尼亚州匹兹堡（1979年）</li><li>亨德里克森，B.<a href=“http://www.cs.duke.edu/brd/Teaching/Bio/asmb/current/Readings3/hendrickson-conditions.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>唯一图实现的条件。SIAM J.Compute.21，pp.65-84（1992）</li></ol>

https://mathoverflow.net/q/386342 2 Milnor$K$理论的$1$-adic刚性用户127776 https://mathoverflow.net/users/127776 2021-03-13T05:46:50Z 2021-03-13T05:46:50Z

给定具有最大理想$m$的局部henselian环$a$，商映射$a\mapsto a/m$是否在$l$-adic-Milnor$K$理论上诱导同构？（$K_n^M（R）\otimes\mathbb{Z} _l（l）$，其中$l$</sspan>是可逆素数。）（第页）

https://mathoverflow.net/q/381334 7 恒定高斯曲率圆盘爱德华多·隆加 https://mathoverflow.net/users/85934 2021年1月1日至16日00:36:55分 2021-02-08T02:08:52Z

这个问题有<a href=“https://math.stackexchange.com/questions/3986936/characterization-of-disks-of-constant-curvature-and-whose-boundaries-have-consta“>也发布在MSE上，但也许这里是发布它的合适位置如果$D$是具有恒定高斯曲率的黎曼圆盘，且其边界具有恒定测地曲率，那么$2$</sspan>是真的吗>$D$与单位球面的某些测地线球等距？我强烈怀疑，但我找不到合理的理由（第页）

https://mathoverflow.net/q/380878 2 等距浸入黎曼流形的无穷小刚度与局部刚度米尔卡 https://mathoverflow.net/users/5628 2021-01-10T17:01:05Z 2021-01-11T16:21:43 Z

我在看报纸<a href=“https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780444895967500122“rel=”nofollow noreferrer“>关于刚性的调查<A href=“http://pi.math.connell.edu/%7Eweb7510/Gluck网站-almost-all.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>Gluck和http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download？doi=10.1.1.145.2964&rep=rep1&amp；type=pdf“rel=”nofollow noreferrer“>康奈利的这部作品，关于https://en.wikipedia.org/wiki/Tensegrity网站“rel=”nofollow noreferrer“>电缆/支柱/杆有限框架，相关概念如下：<ol><li>局部柔度（即存在考虑张拉整体约束的非平凡连续变形）</li><li>无穷小的灵活性（即，在第一射流水平上从上面获得的条件：明确地说，在配置点$p_i$存在$p_i$的“切向量”，满足自然约束，如$（p_i-p_j）\cdot（p_i'-p_j'）\le 0$（如果$\{p_i，p_j\}$是一根电缆，并且类似于钢筋和支柱）</li></ol>Gluck表明1意味着2，对于泛型框架，1等于2。（如评论中所述，如果没有进一步的一般性假设，反之亦然。）Connelly要求对此类结果进行连续模拟可以通过以下问题对这个问题进行解释：黎曼流形在欧几里得空间中的等距浸入是否局部灵活（从某种意义上说，有一条等距浸入路径穿过它，而不是来自环境空间的等距路径）当且仅当它是无限小柔性的（=通过取第一个喷射或切线向量场获得的条件，上述版本）（第页）我很好奇，上述解释是否合法，是否知道一些答案，特别是在浸入$C^{1，\alpha}$-小（或零）$\alpha$</sspan>-正则性的设置中。在这种情况下，人们可能会在无穷小刚度的定义中采用弱导数。或者，对问题进行另一种解释（第页）Cohn-Vossen/Pogorelov/Nirenberg/Borisov的著名刚性结果激发了人们对规则性的重视，这些结果在更高的规则性下工作。如果所有等距浸入都是刚性的，那么这个问题就不那么有趣了。De Lellis-Inauen-Szekelihidi（以及其他人）遵循纳什开创的道路，在较低的$\alpha$下证明了灵活性，这使得这个问题在这种情况下可能更有趣。为了更好地讨论这个问题<a href=“https://arxiv.org/pdf/1609.03180“rel=”nofollow noreferrer“>请参阅此调查

https://mathoverflow.net/q/368145 2 具有常奇异值的映射及其逆映射总是通过等距共轭的吗？阿萨夫·沙查尔 https://mathoverflow.net/users/46290 2020-08-02T14:53:13Z 2020-09-29T10:42:32Z

设$U\subseteq\mathbb R^2$是开的、连通的和有界的，设$0&lt；\西格玛1&lt；\sigma_2$满足$\sigma_1\sigma_2=1$（第页）假设$f:U\到U$是一个微分同胚，它的奇异值（属于$df$</sspan>）是常量$\sigma_1，\sigma_2$</spa>（第页）<区块报价>问题：是否存在平滑等距线$\phi_1，\phi_2:U\到U$，这样$\phi_1\circ f\circ\phi_2=f^{-1}$？（$\phi_i$必须是仿射的；我希望它们将$U$</sspan>映射到$U$。）</blockquote>请注意，$df^{-1}=（df）^{-1{$具有与$df$相同的奇异值（第页）以下是此现象的两个示例：1。椭圆上的仿射映射：让$0&lt；a&lt；b$，$ab=1$，并让$$U=U_{a，b}=\biggl\{（x，y）\，\biggm|\，\frac{x^2}{a^2}+\ frac{y^2}}{b^2}&lt；1\biggr\}。美元取$f（x，y）=A\pmatrix{x\\y}$，其中$$\begin{align*}&amp；A＝A（θ）＝\开始｛pmatrix｝A&amp；0\\0&amp；b\end{pmatrix}\begin{pmatricx}\cos\theta&amp-\sin\theta\\sin\theta（&amp；）；\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatricx}1/a&amp；0\\0&amp；1/b\结束{pmatrix}=\开始{pmatrix}\cos\theta&amp-\压裂ab\sin\theta\\frac-ba\sin\ttheta&amp；\cos\theta\end{pmatrix}\结束{align*}$$然后$A（\theta）^{-1}=A（-theta）=JA（\theda）J$，其中$J=\begin{pmatrix}1&amp；0\\0&amp-1\end{pmatrix}$是围绕$y$轴的反射（第页）2。磁盘上的非仿射贴图：设$U=D\setminus\{0\}$，其中$D\subsetq\mathbb R^2$是单位圆盘（第页）$f_c:（r，\theta）\ to（r，\sheta+c\log r）$。然后我们有了$f_{c}^{-1}=f_{-c}=Jf_{c} J型美元（第页）请注意$[dfc]{\{\frac{\partial}{\partitialr}，\frac}1}{r}\frac\\partial{{\partic\theta}\}}=\begin{pmatrix}1&amp；0\\c&amp；1\end{pmatrix}，$因此，$fc$的奇异值是依赖于$c$的常数（第页）＜小时/＞<a href=“https://mathoverflow.net/a/351550/46290“>PDE$\sigma_i（df）=\sigma_i$</a>有许多本地解决方案，所以我不认为在等距图中$f$</sspan>和$f^{-1}$</spa>是相同的

https://mathoflorow.net/q/364236（网址：https://mathoflorow.net/q/364236）三具有转移（局部）常数的“强有限维”同伦不变带轮吗？米哈伊尔·邦达科 https://mathoverflow.net/users/2191 2020-06-26T23:12:07Z 2020-07-01T15:27:23Z

设$k$是代数闭域。设$S$是Voevodsky–Suslin意义下具有转移的同伦不变量$\mathbb{Q}$</span如果$U$是平滑的（连接的）$k$-变化，则为常数$c$有界。已知$S$是常量吗（第页）我可能用Suslin刚性类型的参数对这个事实有点笨拙的证明；然而，我想知道与此相关的哪些事实已经为人所知。此外，我实际上对将$S$扩展到pro-smooth（比如affine）$k$</sspan>-方案感兴趣；而我的有限维假设对应于$S（\operatorname{Spec}K）$的有限维，其中$K$</sspan>是无限超越度的$K$$K$的代数闭域扩展。因此，我也想知道我应该引用哪些语句来处理“；colimit扩展“；这种类型的；这是EGA 4第8.13节吗（第页）

https://mathoverflow.net/q/75175 4 证明对偶函子是反幺半群安德莉亚 https://mathoverflow.net/users/17737 2011年9月11日23:35:53Z 2020-06-21T18:55:47Z

设$\mathcal{C}$是一个具有结合性约束的右刚性（非严格）单体范畴。设$J_{U，V}:U^*\times V^*to（V\times U）^*$是每个对象的规范同构。我想证明对$（（-）^*，J）$是一个反单体函子，即对于任何三个对象，$U，V，W\in\mathcal{C}$$$J_{U，（W\times V）}\circ（U^*\times J_{V，W}）\circ\Phi_{U^*，V^*，W^*}=\Phi_{W，V，U}^*\circJ_{（V\times U），W}\cic（J_{U，V}\otimes W^*）$$这应该是一个简单的图表追踪练习，但是。。。我被卡住了（第页）

https://mathoverflow.net/q/351546 14 所有具有固定奇异值的映射$\mathbb{R}^2\到\mathbb{R}^2$都是仿射的吗？阿萨夫·沙查尔 https://mathoverflow.net/users/46290 2020-01-30T15:38:35Z 2020-02-01T13:25:29Z

<区块报价>设$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$是一个光滑映射，其微分具有固定的不同奇异值；\西格玛1&lt；\sigma2$和处处都是正行列式（即乘积$\sigma1\sigma2]）（第页）</blockquote>$f$必须是仿射的吗我的假设等价于每个$df_x\in\text{SO}（2）\cdot\text{diag}（\sigma_1，\sigma_2）\cdot \text{SO}（2）$（第页）如果我们只允许从$\text{diag}（\sigma_1，\sigma_2）$的一侧复制$\text}（2）$</span，那么答案将是肯定的。（这就简化为等角图的情况）（第页）同样，如果我们有$\sigma_1=\sigma_2$，答案也会是肯定的（第页）

https://mathoflorow.net/q/332001（网址：https://mathoflorow.net/q/332001） 5 柯西刚性定理的亚历山德罗夫推广 M.冬季 https://mathoverflow.net/users/108884 2019-05-20T11:32:24Z 2019-05-21T07:25:46Z

<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_ethegorithm_（几何）#Generalizations_and_related_results“rel=”nofollow-noreferrer“>维基百科指出</a>a.D.Alexandrov将多面体的柯西刚性定理推广到更高的维度文章中的相关声明未链接到任何来源。维基百科页面末尾的来源似乎也只是关于$3$维多面体，特别是亚历山德罗夫的书“凸多面体”（第页）<区块报价>我在哪里可以找到该声明的参考（第页）</blockquote>

https://mathoverflow.net/q/126788 11 群的一致有界对偶的定义用户2412 https://mathoverflow.net/users/0 2013年4月7日16:35:57Z 2019-04-28T09:25:44Z

群$G$的幺正对偶是具有Fell拓扑的$G$$</sspan>的不可约幺正表示的等价类集。（此拓扑是使用正定函数的收敛性定义的，或等效地，与表示相关的对角矩阵系数）（第页）<区块报价>问题：如何使用Hilbert空间上的一致有界表示定义$G$的“一致有界对偶”，以及应配备什么拓扑（第页）</blockquote>这种一致有界对偶在文献中提到过几次，但通常被模糊地定义为“类似于酉对偶”。特别是，几乎没有关于使用什么拓扑的明确声明（第页）我之所以对此感兴趣，是因为我想了解M·考林（M.Cowling）从20世纪80年代初对更强版本的卡日丹财产（T）的一系列结果。Cowling证明了对于一个简单的Lie群$\Gamma$，平凡表示在这种一致有界对偶中是孤立的当且仅当$\Gamma$</sspan>的秩是$\ge2$</spa>（第页）在$Sp（n，1）$Cowling构造了一个近似平凡表示的一致有界表示的显式族。我所发现的对他的结构的最好描述是他从2001年Oberwolfach关于属性几何化（T）的研讨会上摘录的（参见<a href=“http://www.mfo.de/document/0128a/Report_29_01.ps“rel=”nofollow noreferrer“>MFO报告，以下摘要见第3页）：<a href=“https://i.sstatic.net/U1YHF.jpg网站“rel=”nofollow noreferrer“><img src=”https://i.sstatic.net/U1YHF.jpg网站“alt=”alt text“></a>

https://mathfoverrow.net/q/309286 4 Tannaka-Krein重建和刚性恩德·威金斯 https://mathoverflow.net/users/105816 2018年8月28日T08:32:55Z 2018年8月28日T14:37:28Z

设$\mathcal{C}$是一个刚性单体范畴和一个拟单体函子$\omega:\mathcal{C}\to\mathsf{静脉内皮细胞}_{\Bbbk}$到域上的有限维向量空间，即我们有同构）_{X，Y\in\mathcal{C}}$但这些不一定与约束兼容（第页）根据Majid关于拟Hopf代数的Tannaka-Krein定理和其他结果，我们知道存在一个共拟双代数$H$（即$H=\mathsf｛coend｝（\omega）$），使得$\omega$通过健忘函子$\mathcal{U}:\mathsf{Com}因子^{高}_{fd}\to\mathsf{静脉内皮细胞}_{\Bbbk}$从有限维$H$</sspan>余模的范畴到{静脉内皮细胞}_{\Bbbk}$，也就是说，存在一个函子$\mathcal{我}_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\to\mathsf{Com}^{高}_{fd}$这样$\mathcal{U}\mathcal{我}_{\mathcal{C}}=\omega$（第页）我被告知：<区块报价>声明：由于$\mathsf{Com}中的任何对象^{高}_{fd}$可以从$\mathcal图像中的对象获得{我}_{mathcal{C}$通过取直和、核和余核，并在具有精确张量积的交换单体范畴中（如$\mathsf{Com}^{高}_{fd}$）取和、核和余核时刚性对象集合是封闭的，范畴$\mathsf{Com}^{高}_{fd}$也必须是刚性的（第页）</blockquote>我的主要问题是：<区块报价>主要问题：这是真的吗（第页）</blockquote>很长一段时间以来，我一直试图证明这一说法，但我没能做到根据Schauenburg的任意Hopf代数的Tannaka对偶，推论2.2.9，$\mathsf{Com}中的每个对象^{高}_{fd}$是函子的象中对象的有限二乘积的子对象的商{我}_{\mathcal{C}$，但这与Claim不同，我在那里提供了我自己的证据，证明在$\mathsf{Com}中的任何对象^{高}_{fd}$可以从$\mathcal图像中的对象获得{我}_｛\mathcal｛C｝｝$，方法是取直和、内核和焦炭。它很长而且技术性很强，但我认为它应该管用，因此我将省略它我现在的问题是声明的第二部分，关于阿贝尔单体范畴。由于我没有直接解决这个问题，所以我试图一步一步地解决这个问题（第页）设$\Bbbk$是von Neumann正则交换代数（即每个模块是平坦的）{模式}_｛\bbk｝$是$\bbk$模块的类别。此处的刚性对象集合应与有限生成和投影模块一致。因此，如果$f:M\to N$是fgp模块的一个态射：<区块报价>子问题1：$\ker（f）$也是fgp，这是真的吗（第页）子问题2：$\operatorname{coker}（f）$怎么样（第页）</blockquote>欢迎任何帮助或评论（即使是粗鲁的）（第页）注意：这个问题与<a href=“https://math.stackexchange.com/questions/2864242/is-the-class-of-dualizable-objects-in-an-abelian-monoidal-category-closed-under“>关于MSE的另一个问题</a>，但目前还没有得到答案

https://mathoverflow.net/q/300891 6 摩托车超刚度用户81562 https://mathoverflow.net/users/81562 2018-05-23T10:40:01Z 2018年5月26日T19:57:33Z

设$\Gamma$是一个在$（X，\mu）$上具有概率测度保持作用的群，$H$是另一个群。回想一下，一个cocycle是一个映射$c:\Gamma\times X\到H$，这样$c（gg'，X）=c（g，g'X）c（g'，X）$。如果存在$f:X\到H$，使得$c（g，X）=f（gx），则两个余环$c，c'$是上同系物^{-1}c'（g，x）f（x）$（第页）设$H$是离散群。假设$H$是超刚性，如果对于一个简单的、更高秩的Lie群$G$中的每个格$\Gamma$，以及对于$\Gamma$在$（X，\mu）$上的每个遍历概率测度保持作用，每个可测量的共循环$c:\Gamma\times X\to H$都与有限群中具有值的共循环上同调（第页）例如，如果$H$是双曲群，则Adams的结果证明$H$为超刚性（第页）我的问题是：假设$H$包含有限索引的正规子群$H'$，并且$H'$s是超刚性的。这是否说明$H$是超刚性的（第页）

https://mathoverflow.net/q/292695 4 黎曼流形的共形$L^p$刚性阿萨夫·沙查尔 https://mathoverflow.net/users/46290 2018年2月11日T09:13:58Z 2018年02月11日09时39分07秒

$\newcommand{\M}{\mathcal{M}}$$\newcommand{\N}{\mathcal{N}}$$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$$\newcommand{\CO}[1]{\text{CO}（#1）}$$\newcommand{\dist}{\operatorname{dist}}$$\newcommand｛\g｝｛\mathfrak｛g｝｝$$\newcommand{\h}{\mathfrak{h}}$$\newcommand{\Volg}{\text{卷}_\克}$$\newcommand{\SO}[1]{\text{SO}（#1）}$设$\M，N$是具有边界的紧致$d$-维黎曼流形。给定$x\in\M，y\inN$，我们定义$$\CO{\g_x，\h_y}=\{\lambda R:R\in\SO{\gx,\h_y}\，|\，\lambda&gt；0\} .$$（第页）考虑以下函数$E:C^{\infty}（\M，\N）\to\R：$$$E（f）=\int_\M\dist^p（df，\CO{\g，f^*h}）\，\Volg$$它测量$f$与保角的偏差。（$\text{Hom}（T_p\M，T_{f（p）}\N）$上的距离是由度量导出的距离）（第页）定义$F:=\{F:\M\to\N\，|\，\，F\text{是一个平滑浸入}\}$（第页）<区块报价>问题：假设$\inf_{f\in f}E（f）=0$。$\M$真的可以在$\N$中共形浸入吗？即，是否存在平滑的共形浸没$\M\N$（第页）</blockquote>我想$p&gt；d美元。（这可能是必要的，因为当$p&lt；\frac{d}{2}$时，至少在欧几里德的情况下，存在正则性问题）（第页）注释：共形群不是闭合的，因为$0$属于它的闭包。在流形上，可能会发生共形微分同构序列弱收敛到常数映射（这里我不考虑共形）（第页）下面是一个典型的例子：以$\M=\N=\mathbb{S}^N$为例。考虑以下单参数微分同态族$\psi_{\lambda}:\mathbb{S}^n\to\mathbb{S}^n$，$\lambda&gt；0美元：$\psi{\lambda}$是通过使用赤平投影获得的，然后膨胀$\lambda$，再进行反向投影$（\psi{\lambda}）{\lampda&gt；0}$是一类共形微分同胚，当$\lambda到infty$时弱收敛到极点（第页）本质上，问题是这样的事情是否会发生在非共形等价的流形之间（在上面定义的意义上，映射是渐近共形的）（第页）

https://mathoflorow.net/q/1158977（网址：https://mathoflorow.net/q/1158977） 10 二球面刚度的定量表示保罗 https://mathoverflow.net/users/9253 2014年02月28日T09:52:29Z 2015年10月18日21:53:48Z

我正在寻找以下定理的量化版本：$K\equi1$的紧致曲面与圆形球体等距（第页）当然，我得到了伯杰、布伦德肖恩定理，它确保了如果我们是1/4美元的收缩，那么曲面与球面是不同的（第页）我还知道de-Lellis和Muller的结果，他们断言，如果无迹第二基本形式的$L^2$-范数足够小，则曲面（作为浸入物体）接近于圆形球体（第页）不幸的是，这似乎并不意味着：如果$max K/min K$足够小，我们就接近一个圆形球体（第页）有人知道这种精神吗？谢谢

https://mathfoverrow.net/q/200206 9 关于Mirzakhani等人代数性定理的一个问题维塞林·迪米特洛夫 https://mathoverflow.net/users/26522 2015年3月17日T04:53:24Z 2015年7月28日T16:23:04Z

虽然完整双曲曲面上的测地线流是遍历的，但单个轨道（测地线）的闭合可能具有复杂的分形形状。然而，在这方面取得了积极的结果。测地线的一个高维推广是一个完全测地线浸没子流形，为此，Nimish Shah证明了（常负曲率流形中完全测地线沉浸的闭包）类似于平面环面上发生的情况，在任何紧双曲流形$M$中，维数至少为$2$的完全浸入全测地子流形的闭包总是$M$的完全浸没测地子流。（我认为这一结果随后被扩展，以涵盖更弱的假设，即$M$是完整的，不一定是紧凑的。）在模空间$\mathcal中{M} g（_g）Mirzakhani和她的同事证明了测地线的闭包总是一个代数子簇。这种设置虽然在技术上更为复杂，但经常被与第一段中的同质设置进行比较。有鉴于此，我的问题是，我将把它分为两种变体，因为我不确定哪一种（如果有）更有意义：<ol><li>对于完全测地线浸入子流形$N\tomathcal{M} g（_g）维数至少为$2$，那么期望闭包仍然是浸入子流形是合理的吗（第页）</li><li>很容易想象$\mathcal中高维复形全测地线浸没子流形的定义{M} g（_g）$. 推广Mirzakhani等人的定理，能证明这样一个浸没复子流形的闭包是代数子流形吗（第页）</li></ol>