标记为电流衰减的主动问题-数学溢出

标记为电流衰减的主动问题-数学溢出 mathoverflow.net上最近的30个 2024-06-26T11:48:13Z https://mathsoverflow.net/feeds/tag？标记名=galois-下降和；sort=最新 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://mathoverflow.net/q/472288 5 Galois上升-什么时候变化是Weil限制？贝朗格·塞金 https://mathoverflow.net/users/82819 2024-05-30T10:36:13Z 2024-05-30T18:21:40 Z

设$L|K$是度$d$</sspan>的有限Galois扩张，而$X$是度$K$</span的变种。是否有一个类似于Galois下降的简单标准，可以确定$X$是否是$L$</sspan>上变种$Y$</spa>的Weil限制（标量限制）（第页）由于Weil限制伴随标量的扩展，我假设一个条件是，对于每个$K$-scheme，$X（S）$只依赖于，也就是说，点的函子将$\bullet\times_{\mathrm{Spec}\，K}\mathrm Spec\，L$和$L$-方案类别上的一些预处理分解为方案的组合，这些方案应该由我们正在寻找的变量表示。然而，这样的标准有点不切实际（第页）我正在寻找更多类似于柯西-黎曼方程的东西。就坐标而言，我想我可以写下我想做的事情：选择一个$K$-base（\beta_1，\ldots，\beta_d）$</sspan>的$L${GL}_d（K） $与$\beta_1、\ldots、\beta_d$相乘对应的矩阵。让我们做一个单一多项式的例子。如果K[X_1，\ldots，X_d]$中的$P_1，\tots，P_d来自L[X]$中的多项式$Q，我知道：$$\sum_{i=1}^d\beta_i\frac{\partial P_i（X_1，\ldots，X_d）}{\parial X_j}=\frac{\partal Q（\beta_1 X_1+\ldots+\beta_d X_d$$尤其是：$$\左（部分P_i（X_1，\ldots，X_d）}{\partial X_j}\right）_1\leqi\leqd}=B_j\left$$相反，所有$2\leq j\leq d$的这些等式肯定意味着$（P_1，\ldots，P_d）$来自L[X]$中的多项式$Q\。然而，这很不令人满意，因为我必须选择一个基础，这太协调了。我想我很想有一个条件，而不是说类似的话；微分在$\mathrm{Gal}（L|K）$&quot；的作用下具有某种等方差；，理想中的图式理论；摘要&quot；方式（第页）这种情况曾经被描述过吗（第页）编辑：我没有提到这一点，但我（实际上）对伽罗瓦语上升的标准感兴趣，不仅是变体（第页）

https://mathoverflow.net/q/467448 5 “广义希尔伯特90”/伽罗瓦下降的逆贝朗格·塞金 https://mathoverflow.net/users/82819 2024年3月21日下午1:46:27分 2024-03-21T19:02:21Z

希尔伯特90的以下概括可以在塞雷的《洛高兵团》中找到（法语版第十章，§1，ex.2，p.160），另请参见https://mathoverflow.net/questions/28469/hilbert-90-for-agebras“>这个问题：定理：如果$L|K$是有限Galois扩张，而$R$是有限维代数，则$H^1（L|K，（R\otimes_KL）^{times}））={1\}$（第页）我想知道以下可能的逆向：如果$L|K$是有限Galois扩展，而$R$</sspan>是有限维代数，（编辑）配备有$\mathrm{Gal}（L|K）$-动作（作为一个代数，即动作尊重乘积），对于它，$H^1（L|K，R^{times}）=\{1\}$</sspan>成立，我们一定要有$R=R^{mathrm{Gal}（L|K）}\otimes_KL$</spa>吗？如果这失败了，我很好奇是否有；自然&quot；足以应用伽罗瓦血统已知结果的假设（第页）

https://mathoverflow.net/q/442242 1 我们能在代数闭包的基改变后检查同构的光滑性吗？ TCiur公司 https://mathoverflow.net/users/160814 2023-03-07 T16:26:28Z 2023-03-07 T16:26:28Z

我知道平滑度是基上的fppf局部的，但这还不够，因为取代数闭包并不是有限的。我之所以这么问，是因为我想要一个简单/快速的论点或参考（我没有找到）（第页）如果有帮助的话，我正在研究阿贝尔变种$f:a\到B$在某个字段上的满射同态，我知道$f_{\overline{k}$</sspan>是光滑的，但我想证明$f$</span（第页）

https://mathoverflow.net/q/425950 4 伽罗瓦血统的唯一性愚蠢的兔子 https://mathoverflow.net/users/147080 2022-07-03T17:49:31Z 2022-07-03T17:49:31Z

设$Y，Z$为$\mathbb{F} （p）$-方案，它们都是$X$在$\overline上的方案模型{F} （p）}美元。设$F$是上划线{mathbb的绝对Frobenius{F} （p）}$，如果$1_Y\乘以F$</sspan>和$1_Z\乘以F$，X的两个自同态是相等的，我们能推断出$Y\cong Z$吗（第页）

https://mathoverflow.net/q/425391 1 向量丛截面的Galois下降问题 Hajime_Saito先生 https://mathoverflow.net/users/90911 2022-06-24T14:07:55Z 2022-06-24T14:41:13Z

设$\pi:Y\rightarrowX$是具有Galois群的两个光滑投影簇之间的有限元Galois态射。让$\mathcal｛E｝$是$X$上的向量束。那么，$\pi^*\mathcal{E}$是$Y$</sspan>上的$G$</spa>-等变向量束（第页）让$s\in\Gamma（Y，\pi^*\mathcal{E}）$成为一个段。那么G}\sigma^*s$中的$\sum_{\sigma\段是$\pi^*\mathcal{E}$</sspan>的$G$</span不变段（第页）问题1:/strong>：G}\sigma^*s$中的$\sum_{\sigma\'下降'到$X$，换句话说，在Gamma（X，\mathcal{E}）$中是否存在一个节\西格玛^*s$？我相信这应该是真的，但我找不到参考，或者至少无法调和它是否符合伽罗瓦血统理论（第页）问题2：这似乎表明存在一个映射$\Gamma（Y，\pi^*\mathcal{E}）\rightarrow\Gamma（X，\mathcal{E}）$。这是真的吗（第页）请原谅我缺乏血统理论知识。任何关于这个主题的参考都将不胜感激（第页）

https://mathoverflow.net/q/419677 2 同伦不动点与余代数尼基奥 https://mathoverflow.net/users/170683 2022-04-05T13:45:38Z 2022-04-05T13:45:38Z

参考此答案的最后一部分<a href=“https://mathfoverrow.net/a/225403/170683">https://mathoverflow.net/a/225403/170683</a>，我想了解在Galois组中如何覆盖$G${自动}自动（_Y）（十） =G$），我们在$X/G$上的滑轮类别和同伦不动点类别之间有一个标准等价，对于我（以及给出上述答案的用户）来说，它是以各种等效的方式定义的，例如在$\operatorname{Sh}（X）$和$\sigma=\{\sigma_g\colon A\ to g^*A\}_g\in g}$满足共循环条件的一类同构，以及明显的等变同构（第页）现在，答案中的推理似乎是，使用同态射的下降，我们能够（通过附加词的共价性）建立类别$\operatorname{Sh}（X/G）的等价性\simeq f^*f_*$｛煤炭｝_{\operatorname{Sh}（X）}$，我知道。但现在我们如何明确地找到从余代数开始的同伦不动点结构（反之亦然），以获得$\operatorname{Sh}（X/G）\simeq f^*f_*${煤}_{\operatorname{Sh}（X）}\simeq\operator名称{Sh}（X）^{hG}$（第页）我的尝试如下。给定g$中的一个余代数$a\colon a\到f^*f_*a$</sspan>和$g\colon X\到X$的同构，这样我们得到了一个同构>$\sigma_g$作为复合$$A\overset{A}{\longrightarrow}f^*f_*A=（fg）^*f_f_*A=g^*f^*A\ overset（超集）{g^*\varepsilon_A}{\lengrightarror}g^*A$$不幸的是，我不确定这是满足cocycle条件的同构。合理的反转应该是$g^*\sigma_{g^{-1}}$（第页）当然，需要$a$的coalgebra条件，即$\varepsilon_a\circ a=\mathrm｛id｝$和$f^*f_*a\circ a=（f^*\eta f_*）_a\circ a$。此外，我不知道如何从同伦不动点的数据开始定义代数结构（第页）你认为这是真的吗？这种方法是正确的吗？感谢您的任何帮助。提前谢谢（第页）

https://mathoverflow.net/q/395976 三 Galois群如何作用于各种Néron–Severi群？莫比乌斯 https://mathoverflow.net/users/117078 2021-06-23T04:04:54Z 2021-06-23T04:04:54Z

设$K/K$是Galois群的Galois扩展，$\Gamma$是$K$的变种。假设$X（k）\neq\varnothing$或$\mathrm{Br}（k）=0$</sspan>，即$k$</spa>的Brauer群。根据Hochschild-Sere光谱序列，我们得到了$$\mathrm{Pic}（X）\cong\mathrm{Pic{（X_K）^{\Gamma}$$问题1：$\Gamma$的Galois操作是否保留了$X_K$上的线束的数值类？因此，我们可以声明$$其中$N^1（X）$是$\mathbb{R}$的向量空间$\mathbb{R{$-在$X$$X$上的Cartier除数（第页）如果$X$是abelain或HypherKahler，则没有问题。我想确切地知道伽罗瓦群$\Gamma$是如何作用于$N^1（X_K）$的（第页）问题2:川端康成（Kawamata-Morrision）关于$X_K$的猜测是否暗示了$X$的猜测？自同构群$\mathrm{Aut}（X_K）$作用于nef有效锥上<ol><li>$A^e（X_K）=\mathrm{Aut}（X_K）\cdot\Pi$</li><li>除非$g_*=id$</li></ol>我猜$A^e（X）=A^e（第页）让A^e（X）$中的$z\，将其视为$A^e。如果$g\in\mathrm{Aut}（X）$，那么我们就完成了，从那时起，$\sigma\circ g\circ\sigma^{-1}=g$，因此，$g_*z\in\Pi^{\Gamma}$</sspan>。我不知道如何处理另一个案子（第页）

https://mathoverflow.net/q/375442 1 Fpqc-局部常数当且仅当étale-局部常数？ Z Wu先生 https://mathoverflow.net/users/110471 2020-11-02T06:40:10Z 2021-03-17T19:41:23Z

也在<a href=“https://math.stackexchange.com/questions/3890935/fpqc-localy-constant-if-and-only-if-%C3%A9tale-本地恒定“>SE</a><小时/>设$\mathcal{F}$是$S_\mathrm{fpqc}$</span上的滑轮。我们说$\mathcal｛F｝$是（有限生成阿贝尔群的）fpqc局部常簇，如果存在覆盖$（S_i \ to S）_｛i \ in i｝$S.t.的fpqc。$\mathcal｛F｝|_｛S_i｝$是一个常数层（与有限生成的阿贝尔群相关）（第页）显然，如果$\mathcal{F}$是局部常数，那么$\mathcal{F{$</sspan>是局部常量，因为每个覆盖都是一个fpqc覆盖，请参见https://stacks.math.columbia.edu/tag/022C“rel=”nofollow noreferrer“>标签022C</a>。相反的是真的吗我认为相反的情况是正确的，因为乘法型上的有限型群方案（与有限生成阿贝尔群相关联的常数群方案的fpqc-局部对偶）可以用有限的étale surpjective映射来简化（强于étale-coverting的平凡化）（第页）我认为应该有直接的证据表明；fpqc-局部常数层可以通过一个étale覆盖甚至一个有限étale-surpjective映射来简化&quot；没有提到组方案。另外，我不确定要求相关常数集是有限生成阿贝尔群的条件是否必要（第页）

https://mathoverflow.net/q/385886 三 Hopf代数的Galois下降贾马尔S https://mathoverflow.net/users/50447 2021-03-08T15:46:01Z 2021-03-09T13:18:10Z

在问题中<a href=“https://mathoverflow.net/questions/259307/cartier-kostant-milnor-moore-theorem“>这里</a>关于为什么交换Hopf代数的分类要求域是代数封闭的，讨论伽罗瓦下降的概念给出了一个很好的答案据我所知（除了分别了解Galois理论和群上同调之外，没有代数数论背景），$L$上的Hopf代数具有$L/k$的扩展>$k$可以通过从$k$上的Hopf代数开始，然后张量到$L$</sspan>来获得。然而，微妙之处在于，$k$上可以存在代数，这样到$L$</sspan>就可以得到与$H$</spa>上同构的东西（第页）我认为这类似于这样一个事实，即$M_2（\mathbb C）=M_2（\ mathbb R）\otimes_{\mathbbR}\mathbb-C$，但我们也有$M_2>$\mathbb H$是汉密尔顿的四元数（第页）因此，我的问题是：<ul><li>对于给定的$H$在$L$</sspan>上的所有对象，是否存在一个上同调；张量向上；到$H$</li><li>有没有一个（温和的）参考来探索霍普夫代数的伽罗瓦下降的这些思想</li></ul>我应该说，我在范畴理论方面的背景（如果有人用它给出答案的话）仅限于哈特肖恩的代数几何，而不是范畴理论教科书（第页）

https://mathoverflow.net/q/379208 2 关于阿贝尔自同构群对象扭曲的一个简单事实的概念解释阿斯温 https://mathoverflow.net/users/58001 2020-12-18T02:14:43Z年 2020-12-18T03:08:09Z

假设$X，X'$是一个域上的两个对象（例如，亏格1曲线），使得在代数闭包上$X{\overline k}\cong X'{\overrine k}$</sspan>是阿贝尔的（第页）然后，可以很容易地检查$Aut_k（X）=Aut_k（X'）$。如果自同构群不是阿贝尔群，这就不是真的。为什么这应该是真的，有概念上的原因吗（第页）

https://mathoverflow.net/q/374007 6 扭转自同构上的伽罗瓦作用是同构的吗？阿斯温 https://mathoverflow.net/users/58001 2020-10-14T04:42:04Z 2020-10-14T07:42:45 Z

这可能是一个微不足道的问题，我可能忽略了一些东西：假设$k$是一个具有代数闭包的字段，$\位于k$行上，绝对Galois群$\Gamma$</sspan>。设$X，Y$是$k$</sspan>上的两个不同的变种，它们在上一行k$</span上同构。考虑它们的自同构群$Aut_{\overline k}（X）$和$Aut_}\overlinek}（Y）$</span。这些群与抽象群同构，但它们每个都有一个通过共轭作用于群的伽罗瓦作用（第页）这两个自同构群是同构的吗；具有$\Gamma$操作的组；？请注意，$H^1（\Gamma，Aut_{\overline k}（X））\cong H^1（第页）如果这两个；具有$\Gamma$操作的组；是不同的，在任何例子中，它们的上同调是否也不同？这两者又有什么关系（第页）

https://mathoverflow.net/q/366399 2 有效下降态射的特征用户30211 https://mathoverflow.net/users/0 2020-07-23T18:46:11Z 2020-07-23T18:46:11Z

交换环的忠实平坦态射是http://www.math.toronto.edu/%7Ejacobt/讲座9.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>有效下降态射</a>。正则单态射也是如此（对吗？）其次，使用平面拓扑而不是有效下降形态的拓扑的一些原因是什么？我对这一点还不太熟悉，但忠实平面不是很像有效的后代形态吗（第页）

https://mathoverflow.net/q/353778 2 $\overline{k}$格式之间的同构上的Galois作用用户267839 https://mathoverflow.net/users/108274 2020-02-28T16:19:43 Z 2020-02-28T16:58:16Z

我有一个问题，关于赋予伽罗瓦作用的方案之间的态射的某种性质。动机来自Phil Tosteson对<a href=“https://mathoverflow.net/questions/353622/application-of-galois-descent“>这个问题</a>菲尔写道：“如果地图通过投影进行因子分解，它会唯一地进行因子分解（投影占主导地位）。因此因子分解是自动伽罗瓦不变量……”我想了解如何在给定的设置中具体描述Galois对态射的作用，以便能够讨论“Galois不变态射”（第页）我们所知道的。设$X，Y$是$k$</sspan>变种或更一般的$k$<方案。设$\overline{k}$是Galois群的$k$</sspan>和$Gal（\overline{k}/k）$</spa>的代数闭包。我们考虑光纤产品$X\times_{operatorname{Spec}\k}\operatorname{Spec}\\overline{k}，Y\times_{operator name{Spec}\k{operatername{Spec{Spec}\\overline{k}$（第页）我们引入缩写词$\overline{X}:=X\times_{operatorname{Spec}\k}\operatorname{Spec}\\overline}$（第页）设$f:\overline{X}\to\overline{Y}$是$\overlline{k}$</span-方案之间的一个态射（第页）问题：我命令决定$f$是否是“伽罗瓦不变量”，我们需要决定我们考虑的是对$f$的哪个伽罗瓦操作。我们在这方面有“行动”吗（第页）我知道可以用不同的方式定义$f$的动作（见下文），但我不确定在文献讨论“伽罗瓦不变态射”时，哪一种是标准的（第页）我知道在$f$上定义操作的两种方法：1.让$\sigma\以Gal（\overline{k}/k）$表示。然后，$\sigma$通过与$\operatorname{Spec}\\sigma:\operator name{Spec}\\superline{k}的同构作用于$\overline{X}$美元。我们使用符号$\overline｛\sigma｝：=id_X\times（\operatorname｛Spec｝\\sigma）$（第页）然后我们可以通过“共轭”$\sigma（f）：=\overline{\sigma^{-1}}\circ f\circ\overline{\sigma}$来定义$f$上的操作2.考虑$\overline{k}$$\值点集（第页）我们可以说两件事：-Galois群通过组合作用于$\上划线{X}（上划线{k}）$和Gal（上划线}/k）中的$\sigma美元-$f$通过堆肥诱导映射$f（\bar{k}）：\overline{X}（\overline{k}）\to\overling{Y}（\ overline}）$$\alpha\mapsto f\circ\alpha$因此，Galois组还通过预组合作用于$f（\bar{k}）\mapsto f（\bar{k}）\circ（\operatorname{Spec}\\sigma）$有趣的是，$\overline{X}（\overline{k}）$在$\overrine{X}$</sspan>中是稠密的，因此从2开始的伽罗瓦动作是由连续性引起的；密度是$f$上的唯一操作（第页）这就是我们（至少）有两种可能性，Galois群如何作用于$Hom（\overline{X}，\overline{Y}）$，并且我们可以说，如果每个$\sigma（f）=f$</sspan>是固定的，则Galois组在$Hom上的作用是Gaois不变的（第页）回到我的问题：如果我们谈论“$f$上的”Galois操作（或调用$f$Galois不变量），如果没有像我的MO问题那样明确解释，通常会建议哪个操作：1还是2（第页）

https://mathoverflow.net/q/353622 1 伽罗瓦下降法的应用用户267839 https://mathoverflow.net/users/108274 2020-02-26T18:07:09Z 2020-02-26T18:22:41 Z

我不理解Moonens和van der Geers关于Abelian变量的书（第12页）中刚度引理证明之初所做的假设。这里是：<a href=“https://i.sstatic.net/oHdOk.png（网址：https://i.sstatic.net/oHdOk.png）“rel=”nofollow noreferrer“><img src=”https://i.sstatic.net/oHdOk.png“alt=”在此处输入图像描述“></a>问题：为什么假设$k=\overline{k}$是合法的？也就是说，如果我们在$k$上取变量$X、Y、Z$</span，则构建光纤束。回想一下，我们所说的符号滥用是指$X\times_k\上划线{k}$形式上更为正确（第页）假设我们已经证明了$X\times_k\overline{k}，Y\times-k\ overline}，Z\timese_k\ overline{k}$的声明。我们如何降低对初始品种$X、Y、Z$的要求？我认为作者之前在脑海中有一个伽罗伊学派的论点，但到目前为止，我没有正确地解决这个问题（第页）更准确地说，下降理论的本质是，如果我们想验证一个态射的一个性质，我们也可以对$\overline{k}$进行基变换，并验证生成的新态射的相同性质，参见https://math.stackexchange.com/questions/187058/why-should-faithfull-ylat-descent-preserve-so-many-properties（https://math.stackexchange.com/quistions/187058/why-shoull-faithfull y-lescent-preserver-so-many属性）“>这里</a>。不幸的是，这里我们有一个因式分解问题，因此我们从一开始就没有$k$-变种的态射，我们可以将其拉回到$\上划线{k}$</sspan>-变型的态射。另一方面，如果我们简单地拉回$f$并在$\overline{k}$</sspan>上构建一个因式分解。我不知道这个因式分解如何通过$f$下降

https://mathoverflow.net/q/344807 7 非线性伽罗瓦下降雅各布·沃纳 https://mathoverflow.net/users/112369 2019年9月10日至29日下午3:41:46分 2019-10-30T10:32:54Z

这个问题是关于伽罗瓦理论的。因此，让$K/K$成为字段的Galois扩展。让我们假设$K/K$是有限维的，尽管通过在这里和那里添加一些连续性条件，可以使一切在profinite情况下工作。我也许应该说，我还不知道格罗森迪克的伽罗瓦理论。如果这个理论回答了我的问题，我会很高兴有一些准确的说法。$\newcommand{\Mod}{\mathrm{Mod}}\newcommand{\Gal}{\mathrm{Gal}}$设$\Mod（K/K）$是$K/K$</spa>-向量空间的范畴：对象是$K$</sspan>向量空间和Galois群的一个作用$在$V$上，这是双线性的，因为$\sigma（a V）=\sigma（a）\sigma（V）$对于$\sigma\in\Gal（K/K）$，$a\in K$和$V\ in V$。形态是与动作相互转换的线性映射（第页）现在伽罗瓦下降是函子的陈述$$\Mod（k）\to\Mod$$和$$\Mod（K/K）\to\Mod$$形成（$k$-线性，对称单体，…）范畴的等价（第页）这导致了与Brauer群相关的幺半群（即左侧的$k$-代数）或“双线性形式的对象”（即配备有来自$V\otimes V$到单体单位，满足一些公理），这与正交群的Galois上同调有关（第页）<区块报价>非线性对象的类别之间是否存在某些等价性，从而导致了$k$-向量空间和$k/k$</span向量空间之间的上述等价性？例如，是否有一些环形拓扑$（X，\mathcal{O} X（_X）)$这样，根据定义，$\Mod（K/K）$</sspan>或多或少是这个环形拓扑中的模块类别，并且这样，$（X，\mathcal{O} X（_X）)$等效于$（\mathrm｛Set｝，k）$（第页）</blockquote>我必须承认，我并不真的期望上述问题的答案是“是”。例如，证明Galois下降的一种方法是认识到$\Mod（K/K）$基本上是扭群代数上的模范畴，并且通过字符的线性独立性，该代数与$\mathrm同构{结束}（_k）（K） $，根据盛田理论，它与$K$</sspan>具有相同的模块类别。因此，产生$\Mod（K/K）$的一个（虽然不是可交换的）环形拓扑将是$$（\mathrm{Set}，K[\Gal（K/K）]）$</span，当然，这并不等同于$$（\tathrm{Set}，K）$。但是，也许有一些具有“半线性”Galois动作的集合类别（无论这意味着什么）是可行的？或者，也许有一个比$（\mathrm{Set}，k）$更适合的拓扑，它导致了$\Mod（k）$但事实上，我能想到的证明伽罗瓦血统的每一个证据都是基于字符的线性独立性，因此是非常线性的。另一件让我怀疑的事是，函子$V\mapsto K\otimes_K V$似乎没有非线性等价物。因此，我想知道：<区块报价>为什么问题1的答案必须是“否”，是否有任何高层解释（比上段中给出的解释更令人信服）（第页）</blockquote>

https://mathoverflow.net/q/339223 4 约化$p$-adic群$^{2}\！A_3''$通过Galois体面斯特拉·苏·加斯蒂诺 https://mathoverflow.net/users/83657 2019-08-26T20:08:42Z 2019-08-27T15:35:28Z

当我试图明确描述组时遇到了一些困惑$^｛2｝\！A_3“$（使用Tits在其Corvallis注释中给出的命名约定）。如果有人能给我任何建议，我将不胜感激设置：让$k$是一个非Archimedia局部字段，具有：\开始{align*}\mathfrak o和amp=\text{$k$}中的整数环\\\mathfrak公司=\text{$\mathfrak o\pi$中的最大理想\\\mathfrak f&amp=\text{$\mathfrak o/\mathfrak p$$k$}的剩余字段\\\结束{align*}设$K/K$是具有以下条件的最大未分类扩展：\开始{align*}\mathfrak O&amp=\text{$K$}中的整数环\\\mathfrak P&amp=\text{$\mathfrak O\pi$是$\matchfrak O$}中的最大理想\\\马特拉克F&amp=\text{$\mathfrak O/\mathfrak P$$K$}的剩余字段\\\结束｛align*｝我将用$F$表示Frobenius自同构，它循环生成${\rm Gal}（K/K）\cong{\rm-Gal}（\mathfrak F/\mathfrak F）$</sspan>（第页）组：我将构建组$^{2}\！A_3''$通过Galois从组$G={\rm SL}_4（K）$</sspan>中降级。设$I$是$G$的标准Iwahori子群$$I=\begin{bmatrix}\mathfrak O&amp；\mathfrak O&amp；\mathfrak O&amp；\mathfrak O\\mathfrak P&amp；\mathfrak O&amp；\mathfrak O&amp；\mathfrak O\\mathfrak P&amp；\mathfrak P&amp；\mathfrak O&amp；\mathfrak O\\mathfrak P&amp；\mathfrak P&amp；\mathfrak P&amp；\mathfrak O\end｛bmatrix｝\cap G$$我们想在$G$上给出一个${\rm Gal}（K/K）$</sspan>的动作，从而产生一个$K$</spa>-结构。此外，我将选择${\rm Gal}（K/K）$-操作，使Iwahori子组保持稳定。为此，我将让Frobenius自同构$F$通过$$F： X\映射到Q^{-1}（^{t}\！X^F）^{-1}Q\qquad\text{with}Q=\begin{bmatrix}1\\&amp&amp&amp；1/\pi\\&amp&amp；1/\pi\\&amp；1/\pi\end{bmatrix}，$$其中$^{t}[x_{ij}]^F=[F（x_{ji}）]$。果然，Iwahori子组$I$通过此操作得到了保留，因为$F$</sspan>排列了$G$$G$的相应简单仿射根组：$$F\开始{bmatrix}1&amp；x\\&amp；1 \\ amp&amp；1 \\&amp&amp&amp；1\end{bmatrix}=\开始{bmatrix}1\\&amp；1 \\&amp&amp；1πF（x）&amp&amp&amp；1\end{矩阵}$$和$$F\开始{bmatrix}1\\&amp；1和amp；x\\&amp&amp；1 \\&amp&amp&amp；1\end{bmatrix}=\开始{bmatrix}1\\&amp；1 \\&amp&amp；1和amp-F（x）\\&amp&amp&amp；1\end{矩阵}$$如果我理解正确，不动点群$G^F$应该是群$^{2}！Tits’Corvallis表中给出了A_3“$（第页）我的困惑：我的困惑来自$G^F$的/an Iwahori子群的定义。一方面，我将不动点群定义为$G^F$的Iwahori子群是有意义的。但另一方面，也有意义的是，$G^F$的Iwahori子组是公寓中适当壁龛的稳定器。不幸的是，这两个物体似乎并不重合。特别是，如果我们考虑矩阵$$g=\开始{bmatrix}a和amp&amp；b\\&amp；1πF（b）&amp&amp；F（a）\\&amp&amp&amp；1\结束｛bmatrix｝$$使用$a，b\以K$表示，即$a\，F（a）+\pi b\，F。因此，$g\以g^F$表示。我们已经知道，这个$g$稳定了$g^F$</sspan>的基本凹坑，但只有当$a，b\in\mathfrak O$</spa>时，$g$<才属于$I^F$（第页）如果有任何不清楚的地方，或者您希望我提供更多信息，请告诉我。我很乐意。

https://mathoverflow.net/q/253663 6 向量空间维数的Galois下降杰雷米·布朗 https://mathoverflow.net/users/23758 2016年11月1日16:43:56Z 2019-02-12T20:33:23Z

假设$L/K$是Galois扩展（我对$\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb2{Q}$感兴趣，所以我不假设它是有限的）（第页）设$V\subset L^n$是维数为$d$的$L$-子向量空间，这样$g（V）=V$表示每个$g\in\mathrm{Gal}（L/K）$。对于$K$-向量空间$V\cap K^n$的维数等于$d$这一事实，您有参考吗（第页）在我看来，它对应于伽罗瓦血统，我在书中查找过这个概念，但我没有找到与这个精确陈述相关的东西（第页）

https://mathoverflow.net/q/322168 5 数环与（伽罗瓦）下降用户30211 https://mathoverflow.net/users/0 2019-01-31T19:46:36Z 2019-02-01T13:42:38Z

在代数数论中，为每个有限的代数选择一个有限的代数{O} K（_K）美元。通常人们只简单地说有限的$\mathbb{Q}$-代数是域，而étale代数只是这些域的乘积（第页）现在$-\otimes\mathbb｛Q｝$取整数环$\mathcal{O} K（_K）$到$K$。此外，$\mathcal的任何积分基{O} K（_K）$是$K$的$\mathbb{Q}$</sspan>-基础。根据血统理论，我们可以想到$\mathcal{O} K（_K）$作为$K$的形式。事实上，这似乎与伽罗瓦世系或一般世系的情况类似。然而，据我所知，下降理论适用于字段的Galois扩展。在这种情况下，$L$-代数$a$的下降基准是$G$-模块的结构，其中$G$是扩展的伽罗瓦群，但这里，$K$修复$\mathcal{O} K（_K）$似乎还修复了$K$（第页）我想我还是会问：有没有可能用一种适用于这种情况的方法来研究血统理论？更准确地说，我们需要什么样的下降数据来恢复$\mathcal{O} K（_K）$来自$K$（第页）

https://mathoverflow.net/q/307401 7 域上有限生成交换代数的无限Galois下降米哈伊尔·波罗沃 https://mathoverflow.net/users/4149 2018年8月2日16:19:11Z 2018年8月3日16:07:06Z

设$k_0$是特征为0的字段，且$k$是$k_0$s的固定代数闭包。写入$G={\rm Gal}（k/k_0）$（第页）设$A_0$是具有单位的有限生成交换$k_0$-代数。那么$A:=A_0\otimes_{k_0}k$是一个有限生成的具有单位的交换$k$-代数。Galois群$G$通过对$k$的作用对$A$进行作用，并且该作用是$k$-半线性的：$^s（\lambda f）=\，^s\lambda\cdot\，^s f$表示G$中的任意$s\，$\lambda\表示k$，$f\表示A$。Galois动作是连续的：对于A$中的任何元素$f\，稳定器${\rm Stab}_G（f）$在$G$中打开（第页）相反，让$A$是一个有限生成的具有单位的交换$k$-代数赋予$k$-半线性$G$-作用，使$G中的稳定器$打开A$中任何元素$f\的。设置$A_0=A^G$（$G$-不变量的代数）（第页）<区块报价>问题</强烈>$A_0$是在$k_0$上有限生成的，而$A\cong A_0\otimes_{k_0}k$是真的吗（第页）</blockquote>对于这一基本主张，如有任何参考（或证据），我将不胜感激（第页）

https://mathoverflow.net/q/225391 30 为什么独身与血统有关？箭头 https://mathoverflow.net/users/69037 2015年12月6日T13:04:00Z 2018年6月1日T00:42:36Z

这个问题对专家来说可能太模糊了，但我真的不知道如何避免我在几个地方读过，在温和的条件下，如果一个态射所诱导的基变换函子是一元的，那么它就是一个有效的下降态射（第页）现在，我对世系一无所知，我正试图探索并找出如何开始学习它。我从代数理论的角度思考单子。另一方的下降被认为具有几何性质；一种形式主义，它将开放子集上常见的粘合推广到没有空间拓扑的更一般的设置。我无法想象这两个概念应该如何或为什么相关（第页）一元性（一个看似代数的具体概念）和（有效的）血统（形态）之间关系的核心是什么（第页）

https://mathoverflow.net/q/3010 6 动机上同调中的伽罗瓦下降尼古拉·内萨 https://mathoverflow.net/users/124826 2018-05-24T10:01:38Z 2018-05-25T00:29:57Z

设$X_N$表示通过方程$X^N+y^N-z^N=0$在$\mathbb{Q}$上定义的费马曲线，并设$X_{N，\mathbb{Q}（\mu_N）}$为基变化。设$G$是$\mathbb{Q}（\mu_N）/\mathbb2{Q}$的Galois群，因此$G\cong（\mathbb{Z}/N\mathbb-{Z}）^\times$。考虑动机上同调$H^2_\mathcal{M}（X_N，\mathbb{Q}（2））$。我想知道是否$$H^2\mathcal{M}（X_N，\mathbb{Q}（2）$$动机：设$W:=（\mathbb{Z}/N\mathbb2{Z}）^2$作用于$X_{N，\mathbb{Q}（\mu_N）}$$$（r，s）（x:y:z）：=（\zeta^rx:\zeta|sy:z）$$其中$\zeta$是单位的原始$N-$根。我正在阅读<a href=“https://arxiv.org/abs/0909.3002“rel=”noreferrer“>关于Fermat动机和广义超几何函数的调节器^加纳。我正在做一些相关的事情，但我对动机上同调不太熟悉。我的定义（对于这种情况来说非常特别）来自Milnor$K-$理论：$$H^2\mathcal{M}（X_N，\mathbb{Q}（2）^\times\otimes\mathbb{Q}\right）$$其中$T$表示Tame符号（参见上文第27页的示例）。我最初的问题是，我想证明，如果$e_N$在$K_2（X_N）_\mathbb｛Q｝$中，那么Otsubo定义的元素$e_N^｛[a，b]｝：=p_N^｛[a，b]｝（e_N）$也在$K_2（X_N）_\mathbb｛Q｝$中。但是，原则上，我只知道它们在$K_2（X_{N，\mathbb{Q}（\mu_N）}）_\mathbb{Q}^G$中。所以我想知道这两个向量空间是否相等。问题是，从我的定义开始，我认为我们已经$$k（X_N）^\次\音符k（X_N）^\times\subsetneqq（k（X_{N，\mathbb{Q}（\mu_N）}）^\times\otimesk$$因此，如果事情最终得以解决，那一定要归功于斯坦伯格关系$a\otimes（1-a）$，为了定义$K_2（K（X_N））$，它仍然需要进行商运算，或者归功于Tame符号。但这似乎很难检查，因此我想知道是否有一些关于等式的一般性论点$$K_2（X_N）_\mathbb{Q}=K_2（X _{N，\mathbb{Q}（\mu_N）}）_\tathbb{Q}^G$$例如来自动机上同调（第页）

https://mathoverflow.net/q/260661 7 etale动机上同调的Galois下降托马斯·盖瑟 https://mathoverflow.net/users/26735 2017年1月27日T08:18:25Z 2018-02-17T10:28:56Z

我对从域$K$上光滑射影簇的etale原动力上同调到etale的Galois不变量的映射感兴趣代数闭包$\bar K$上的动力上同调：$$H^i_{et}（X，Z（n））到H^i{et}（X\times_K\bar K，Z（n））^G$$有人举过cokernel无限的例子吗？（我主要对本地领域或全球领域感兴趣。）

https://mathoverflow.net/q/288428 4 Weil Pairing和Galois血统阿斯温 https://mathoverflow.net/users/58001 2017年12月13日14:19:31Z 2017年12月13日15:04:55Z

Abelian Variety$A/k$的Weil配对的一种表达方式如下（为了简单起见，让我只处理$m$map（$[m]：A\到A$）的乘法，而不是任意的等基因）：将$p$定义为$A$上的线束$\mathscr-L$的组，这样$[m]^*\mathscr L$是平凡的，$A[m]$是$m$-扭转点。然后，我们定义一个映射：$$\langle-，-\rangle:A[m]\次P\到k^\次$$在P中给定$\mathscr-L，a[m]$中给定a\，我们让$D$是与$\mathr-L$相对应的除数，并定义$g（x）$，这样$\operatorname{div}（g）=[m]^*D$并定义$\langle-a，\mathscr L\rangle=g（x+a）/g（x）$（第页）这让我想起了在血统理论中，托索尔人与科西尔人的身份认同方式，事实上，我们可以用以下方式重新解释上述内容：考虑Galoisétale扩展$[m]：A\到A$，我们想为这个扩展对$\mathscr O_A$torsors（=$p$）进行分类。因为$A[m]$是扩展的Galois群，而$\operatorname{Aut}（\mathscr O_A）=k^\ times$，所以它们被$H^1（A[m]，k^\次）$分类。此外，由于$A[m]$在$k^\次$上的作用微不足道，这个上同调群就是$\operatorname{Hom}（A[m]，k^\次数）$，所以我们建立了双射：$$P\to\operatorname{Hom}（A[m]，k^\次）$$在构造完成后，我们看到这与上面的Weil配对是一样的（第页）我的问题：这一观察是否有助于进一步深入了解？我不太了解阿贝尔变体上的威尔配对理论，但它们在椭圆曲线上确实很有用（第页）相反，这种联系可以用相反的方式来获得对伽罗瓦血统的更多了解吗？基本上，这似乎是一个非常自然的公式，所以我确信这在文献中已经讨论过了，但我找不到任何东西。我应该去哪里看（第页）

https://mathoverflow.net/q/279384 2 基极变化、下降理论和相干带轮罗恩 https://mathoverflow.net/users/58203 2017-08-23T10:48:19Z 2017-08-23T10:48:19Z

设$k$是特征为零的字段，$X$是光滑的投射$k$簇。设$E_{\overline{k}}$是$X_{\overrine{k{}$上的相干层（$\overline{k}$表示$k$的代数闭包）。那么，是否存在$k$的有限扩展$L$和$X_L$上的相干簇$E_L$，使得$E_L$对$X_｛\overline｛k｝｝$的拉回同构于$E_｛\overline｛k｝｝$（第页）

https://mathoverflow.net/q/277982 8 域上方案的Galois下降无名的懦夫 https://mathoverflow.net/users/111049 2017年8月4日18:44:54Z 2017年8月5日00:07:44Z

设$K\subset L$是字段的有限galois扩展（我考虑的情况是$K=\mathbb{R}，L=\mathbb{C}$）。通过回拉到$L$，给出$X$超过$K$的方案$Y=X\times_KL$超过$L$的方案，其中$K$-动作为$G=\mathrm{Gal}（L/K）$。很容易看出，这个动作满足以下条件：存在一个仿射开盖$X=\bigcup_{i\inI}U_i$，这样G$中的任何$\sigma\inG$都会将每个$U_i$带到它自己。现在，让$Y$是$L$上的任意方案，其中$K$-动作$G$满足上述属性（对于所有这一切，你可以假设你想要的任何有限性和精确性条件，我想到的主要情况是基域上的有限类型分离格式，不一定是约化或仿射的，如果可能的话也不一定是准射影的）。我的问题如下：1）对于$G$对$Y$的操作，我必须假设$Y$有可能来自$X$对$K$的计划吗（第页）2） $Y$来自这样的$X$有任何简单的充分条件吗（第页）3）我应该记住，$Y$over$\mathbb{C}$与$\mathrm{Gal}（\mathbb{C}/\mathbb2{R}）$actionnot来自$\mathbb{R}$的方案的重要示例是什么？如果可能的话，我希望所有的行为都是反全纯的，即在分析的茎上诱导反全纯同态。对于分析空间来说，有趣的例子，如果不是来自方案，也会很好（第页）编辑：假设结构图$Y\rightarrow\mathrm{Spec（L）}$是$G$-等变的，以避免冗余，这要归功于Julian Rosen的指出（第页）

https://mathoverflow.net/q/275903 2 绝对Galois群的Galois下降用户45397 https://mathoverflow.net/users/45397 2017年7月20日19:00:29Z 2017年7月21日T11:09:48Z

设$K$是特征为零的字段，$\bar{K}$是它的代数闭包，$X$是光滑的投影$K$-格式。对于$K$的有限扩展$L$，我们知道定义在$X_L$上的准相干带的Galois下降理论。这给出了$X_L$上的拟相干束上的共循环条件，使其下降到$X$（例如，参见S.Bosch等人的“Neron模型”第139页第6.2节）（第页）我正在为绝对Galois群寻找一个类似的结果，即，如果我们在$X_{bar{K}$上取一个相干层$e$，它满足任何一对元素$\sigma，\tau\in\mathrm{Gal}（\bar{K{/K）$的类似共循环条件，那么在$X$上是否存在一个（准）相干层$F$，使得$F\otimes_K\bar{K}\cong e$（第页）有关此主题的任何提示/参考都将非常有用（第页）

https://mathoverflow.net/q/149718 13 Tannakian类别堆叠？伽罗瓦血统？马蒂 https://mathoverflow.net/users/3545 2013年11月23日T13:11:11Z 2017年6月2日15:23:45Z

我很难找到一些参考文献，我猜想专家们早就解决了这个问题。让我们为这篇文章取一个局部或全局字段$F$，并修复一个可分离的代数闭包$\bar F/F$。如果$F\subet F'\subet \bar F$和$F'/F$是有限的，则将$Gal（\bar F/F'）$写入$Gal[F']$。设$k$是特征为零的字段（第页）$F'$上的Artin动机（系数为$k$）只是一个连续的Galois表示$\rho:Gal[F']\rightarrow GL（V）$。如果想避免选择$\barF$，Artin动机只是$k$-向量空间的$F{et}'$上的局部系统（第页）$F'$上的系数为$k=\bar Q_\ell$的“Weil动机”是$F'$Weil群的连续表示。如果希望避免选择$\bar F$，也可以使用$\ell$-adic滑轮（第页）现在，阿廷动机（我敢肯定）和威尔动机（我相当肯定）都服从伽罗瓦血统。这样说有点奇怪：给阿廷/威尔$F$以上的动机相当于给出以下数据：<ol><li>对于每个足够大的有限可分扩展$F'/F$，$F'$上的Artin/Weil动机$V[F']$（第页）</li><li>对于此类扩展$F_1'\rightarrowF_2'$的任何$F$-态射，$k$-线性映射$V[F_1']\rightArrowV[F_2']$（第页）</li></ol>唯一的条件是$k$-线性映射对于形态$F_1'\rightarrow F_2'\right arrow W_3'$（我猜也是同一形态$F'\rirtarrow F'$）显然是函数映射（第页）因此，我想这意味着我们有以下几点：对于每一个这样的$F'/F$，都有超过$k$的Tannakian类别（Artin动机或Weil动机）。这些Tannakian范畴满足$F{et}$上的粘合条件。那么……这是否形成了一个“$F{et}$上的塔纳基亚类别堆栈”？这样的事情出现在文献中了吗（第页）我问的原因是——我怀疑伽罗瓦血统的财产有一些Tannakian的解释如下：将$Gal[F]$视为超过$k$的群方案，并将超过$k$的群方案进行扩展：$$1\rightarrow p_0\right箭头p\rightarrow Gal[F]\rightarrow 1$$将$p[F']$定义为$p$中$Gal[F']$的预映像。将$F'$上的$P$-动机定义为$P[F']$的$k$-表示（第页）有没有一个简单的条件（例如伽罗瓦上同调和$p_0$？）规定这种$p$-动机是否服从伽罗瓦血统（第页）

https://mathoverflow.net/q/221260 10 有限域上Galois下降的重新解释丽莎·S。 https://mathoverflow.net/users/63877 2015年10月19日凌晨1点52分16秒 2017年4月14日T13:01:31Z

这个问题与我之前的问题间接相关https://mathoverflow.net/questions/220449/is-an-elliptic-curve-that-is-is-isomorphic-to-is-frobenius-conjugate-defined-over/220452？noredirect=1#comment543861_220452“>是与在$\mathbb上定义的Frobenius共轭同构的椭圆曲线{F} （p）$?</a>让$\mathbb{F}（F）_{q^n}/\mathbb{F} （_q）$是有限域的扩张，$X$是$\mathbb上的拟投影簇{F}（F）_{q^n}$。我想我有一个$\mathbb{F}（F）_{q^n}$同构$i\colon X^{（q）}\simq X$在$q$的Frobenius回调$X$和$X$本身之间。我想知道$I$何时是相对于$\mathbb的下降基准{F}（F）_{q^n}/\mathbb{F} （_q）$，一个特定于有限字段的标准（第页）当然，共循环条件是这类标准，但我在Deligne和Rapoport的论文第133页“Les schemas de modules de courbes elliptiques”中看到了一个不同的标准，我并不完全理解。因此，我的问题是：当且仅当组成$i\circ\mathrm{Fr}\colon X\rightarrow X^{（q）}\rightarrow X$的第$n$-次幂等于$X$的绝对$q^n$-幂Frobenius时，$i$才是这样的下降基准吗（第页）请注意，$\mathrm{Fr}$不是同构（与$X$的绝对Frobenius相同），所以我所要求的Galois下降标准不能是同构条件的重言式结果（它只涉及同构）（第页）

https://mathoverflow.net/q/260203 2 伽罗瓦血统的简洁应用？箭头 https://mathoverflow.net/users/69037 2017年1月22日T00:58:41Z 2017年1月22日T00:58:41Z

我很喜欢阅读Janelidze的范畴伽罗瓦理论，它作为一个特例给出了伽罗瓦下降（沿着托索）的通常定理。我采取的方法只是考虑到覆盖空间理论，使用局部连接的范畴来直觉处理那里非常普遍的附加词类型（第页）我认为我对绝对伽罗瓦定理感到相当满意，有人要求我做一个简短的介绍。我想包括伽罗瓦下降的应用程序，以向人们展示它不是空的抽象。（参加会议的少数人中有几个是像我一样不懂任何非平凡代数几何的学生。）伽罗瓦血统有哪些简洁的应用，解释或描述起来相当简单（最好是几何上的）（第页）

https://mathoflorow.net/q/244652（网址：https://mathoflorow.net/q/244652） 6 伽罗瓦下降条件的几何直觉箭头 https://mathoverflow.net/users/69037 2016年7月19日16:00:07Z 2016年7月20日18:38Z

继续尝试理解Borceux和Janelidze的伽罗瓦理论，我刚刚意识到我对伽罗瓦血统最方便的表征没有任何几何直觉https://mathoverflow.net/questions/239994/categorification-of-covering-morphisms“>覆盖形态</a>一般设置是一个形式为$\mathsf{Fam}（\mathsf a）$的完整类别，或者是一个完整类别，可以为每个对象选择连接的组件。几何直觉（我希望）来自于局部连通空间，我希望它能几何地理解伽罗瓦域的扩展（第页）其思想是，箭头$p:E\rightarrow B$是伽罗瓦下降的一个态射，当且仅当以下两个条件成立时（参见6.6.6和6.6.7之间的伽罗瓦理论）（第页）<ul><li>$p$是一个有效的下降morhpsim</li><li>$p$本身是平凡的，即$p^\astp$是平凡的覆盖态射（平凡的光纤束与离散的光纤）</li></ul>当然，第一个条件是有道理的，但第二个条件呢？有什么想法？为什么我想让$p$自嘲（第页）对于字段，所有箭头都是有效的下降变形，因此属于Galois下降相当于要求下面的方块是回拉，其中左上角是$\operatorname{Spec}E$副本的有限副产品：$$需要{AMScd}\begin{CD}\operatorname{Spec}E^{\amalg{n}}@&gt&gt&gt；\操作员姓名{规格}E\\@vvvvv{p} V（V）\\\操作员姓名{规格}E@&gt&gt；{p} &gt；\操作员名称{Spec}B\end{CD}$$如通常的$e$-代数同构$e\otimes_BE\cong e^n$（第页）添加我找到了http://schauenburg.perso.math.cnrs.fr/papers/hgbgt.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>这篇</a>由Schauenburg撰写的关于Hopf-Galois和Bi-Galoi扩展的论文，在引理2.4.2上面的一段很长的段落中，他说了很多看似美好的东西，这些都在我的脑海中萦绕。‘principal bundle’这个词经常出现，足以让人产生一些希望。特别是，它写道：<区块报价>这是主纤维的代数几何版本具有结构组$G$或$G$-torsor的bundle（第页）</blockquote>现在，除了基础知识之外，我几乎不知道任何代数几何，我正在寻找我所问的原始条件的拓扑/几何直觉，所以如果这个加法与问题无关，就忽略它：）