mathoverflow.net上最近的30个 2024-06-29T02:01:17Z年 https://mathoverflow.net/feeds/question/423247 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://mathoverflow.net/q/423247 9 埃里克·纳斯隆德 https://mathoverflow.net/users/12176 2022-05-24T16:32:47Z 2022-05-25T12:00:49Z

<p>让$\pi（x）=\sum_{p\leqx}$</span>表示素数计数函数<a href=“https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.112/plms/83.3532“rel=”nofollow noreferrer“>Baker、Harman和Pintz关于素数间隙的一个众所周知的结果表明，对于$x\geqy\geqx^{0.525}$</span>，我们得到了</p><p><span class=“math-container”>$$\pi（x+y）-\ pi（x）\gg\frac{y}{\logx}$$</span></p><p>设$\pi（x；q，a）$</span>表示素数$p\leqx$</sspan>，使得$p\equiva\pmod{q}$</spa>。这个定理对$\pi（x；q，a）$</span>有类似的版本吗</p＞<区块报价><p>问题：最小的增长函数是什么？对于任何<span class=“math-container”>$x\geqy\geqf（x，q）$</span>，我们有$$\pi（x+y；q，a）-\pi$$</span></p></blockquote><p><a href=“的推论13.8https://www.cambridge.org/core/books/amplicative-number-theory-i/4E45519B26115AEEA4839C6C38206ACD“rel=”nofollow noreferrer“>Montgomery和Vaughn的乘数理论指出，在广义黎曼假设下，$$\psi（x；q，a）=\sum_{begin{array}{c}n \leq x号\\n等于a（q）\结束{数组}}\Lambda（n）=\frac{x}{\phi（q）}+O\left（x^{1/2}\log^{2} x个\右侧）$$</span></p><p>根据这个推论，可以得出在GRH下，$$f（x，q）=\phi（q）x^\frac{1}{2}\log^{2}（x）的期望下限成立$$</span></p><p>我知道<a href=“https://link.springer.com/article/10.1007/BF01188631“rel=”nofollow noreferrer“>1933年Heilbronn（MR1545353）的结果，我认为（我的德语不太好）证明了对于固定的$q，$</span>，存在$\delta&gt；0$，因此对于$x\geqy\geqx^{1-\delta}$</sspan>数学容器“>$$\pi（x+y；q，a）-\pi（x；q，a）\sim\frac｛y｝｛\phi（q）\log x｝。$$</span></p><p>关于这个话题有什么最新的结果吗</p＞

https://mathoverflow.net/questions/423247/-/423292#423292 5 2734364041 https://mathoverflow.net/users/111215 2022-05-25T12:00:49Z 2022-05-25T12:00:49Z

<p>无条件地，可以取$f（x，q）=x^{0.525}$</span>，前提是$q$在Siegel-Walfisz范围内。存在一个（适当小的）常数$\delta&gt；0$</span>，这样就可以对除$q\leqx^{delta}$</sspan>的密度零子集以外的所有对象取$f（x，q）=x^{0.525}$</span</p＞<p>这源于Bombieri-Vinogradov型结果，该结果为素数指示函数精心构建的下限（由于<a href=“https://academicial.oup.com/qjmath/article/53/4/479/1537722？searchresult=1“rel=”noreferrer“>Kumchev</a>，但将$0.525$替换为$0.53$（由于<a href=“math-container”>$L（s，\chi）^2$</span>乘以Dirichlet多项式的二阶矩https://academic.oup.com/qjmath/article/55/3/307/1577135“rel=”noreferrer“>Harman、Watt和Wong）。有关如何将这两个结果结合起来的详细信息，请参阅<a href=“https://link.springer.com/article/10.1007/s40993-018-0109-y“rel=”noreferrer“>Alweiss和Luo（见其中的定理2.3）。然后取$Q=（\log x）^a$</span></p>