算术级数中素数的分析等价物-MathOverflow

算术级数中素数的分析等价物-MathOverflow mathoverflow.net上最近的30个 2024-06-22T07:49:12Z年 https://mathoverflow.net/feeds/question/356251 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://mathoverflow.net/q/356251 7 算术级数中素数的解析等价格里格·马丁 https://mathoverflow.net/users/5091 2020-04-01T06:32:21Z 2022-07-18T01:49:35Z

通过上下文：众所周知，素数定理$\pi（x）\sim x/\log x$（非常重要）等价于$\zeta（s）$</sspan>不在行上消失的语句（第页）我想让它澄清什么是算术级数中质数的类似等价语句。特别是，我希望能具体提及证明（或至少明确说明）以下等效性的论文或书籍：<ul><li>Dirichlet定理，在任何可容许的算术级数（mod$q$）中都有无穷多个素数。等价于所有Dirichlet字符的$L（1，\chi）$的非Anishing。编辑：正如已经指出的那样，这种非等价性更可能等价于约化剩余类（mod$q$）中素数的Dirichlet密度相等。什么样的分析语句可以等价于所有这些类中素数仅有的无穷大</li><li>算术级数$\pi（x；q，a）\sim x/（\phi（q）\log x）$中的素数定理等价于所有Dirichlet字符的$L（s，\chi）$不在行上消失>$\chi\pmod q$</li></ul>当然，如果这些说法本身是错误的，我希望得到纠正，并指出文献（第页）

https://mathoverflow.net/questions/356251/-/356347#356347 三 Lior Silberman对算术级数中素数解析等价的回答利奥·西尔伯曼 https://mathoverflow.net/users/327 2020-04-02T10:56:04Z 2020-04-02T18:25:05Z

关于狄利克雷定理，我认为你需要定量版本（根据狄利克雷密度）来保持等价性（第页）假设$$\sum_{\substack{p\equiv a（q）\\p&lt；x}}\frac1p=\frac{\chi_0（a）}{\phi（q）}\log\log x+O（1）$$然后按部分求和，得出$s=1+\delta$，一致地在$\delta$中\开始{align*}\sum_p\chi（p）p^{-s}&amp；=\sum{a（q）}\chi（a）\sum{p\equiva（q）}p^{-s}\\&amp；=\sum_{a（q）}\chi（a）\sum_n\bigg（\frac1{\phi（q）{\log\log n+O（1）\bigg）\big（n^{-\delta}-（n+1）^{-\ delta}\big）\\&amp；=\左（sum{a（q）}\chi（a）\right）\left（sum_n\frac{\log\logn}{\phi（q）{\big（n^{-\delta}-（n+1）^{-\ delta}\big）\rift）\\&amp；\qquad｛｝+\sum_｛a（q）｝\chi（a）\sum_n O（1）\big（n^｛-\delta｝-（n+1）^｛-\delta｝\big）\\&amp；\ll\sum_｛n\geq 1｝\big（n^｛-\delta｝-（n+1）^｛-\delta｝\big）\ll 1\结束{align*}由于$\log L（s，\chi）=\sum_p\chi（p）p^{-s}+O（1）$，我们看到$L（1，\ chi）\neq 0$</sspan>（第页）另一方面，如果你只告诉我每个AP中有无穷多个素数，但对于不同的$a$mod，我认为结论不会成立（第页）我不知道这是否写在任何地方，但我现在将把它添加到我的课堂笔记中的家庭作业中（第页）

https://mathoverflow.net/questions/356251/-/357301#357301 1 2734364041对算术级数中素数的解析等价物的回答 2734364041 https://mathoverflow.net/users/111215 2020-04-13T01:18:38Z 2020-04-13T01:18:38Z

<ul><li>对于$\pi（x；q，a）\sim x/（\varphi（q）\log x）$：除了Iwaniec和Kowalski的第40页外，我不知道有哪一个源说明了模的级数$q$</sspan>的这种结果，并且只说明了$q=1$。达文波特似乎没有就此事发表任何意见。我的下一个猜测是检查蒙哥马利和沃恩或钱德拉塞哈兰。一个方向遵循显式公式，另一个方向则遵循对每个$-L'/L（s，\chi）$应用Weiner-Ikehara牛头座定理并通过正交关系组合它们（第页）</li><li>对于级数中素数的无穷大，我们有（对于$s&gt；1$）</li></ul>$\displaystyle\sum_{p\equiva\pmod{q}}p^{-s}=\frac{1}{\varphi所有$s&gt；的$\log L（s，\chi）$的有界性；1$等价于通过Dirichlet的一致收敛性检验对$L（1，\chi）$</sspan>进行非零化。因此所有$s&gt；1\iff L（1，\chi）\neq 0$表示所有$\chi\pmod{q}$</sspan>（第页）（见《达文波特》第1章）但这句话比单纯的进行式中质数的无限性更强（第页）

https://mathoverflow.net/questions/356251/-/413251#413251 5 KConrad对算术级数中素数的解析等价物的回答康拉德 https://mathoverflow.net/users/3272 2022-01-06T07:58:02Z 2022-07-18T01:49:35Z

这里有两个等价项（第页）定理1。对于每个$m\geq 1$，以下是等价的（第页）a）对于所有非平凡的Dirichlet字符$\chi\bmod m$，$L（1，\chi）\not=0$</sspan>（第页）b）对于所有$a\in（\mathbf Z/m\mathbf-Z）^乘$，素数集$p\equiv a\bmod-m$具有Dirichlet密度$1/\varphi（m）$</sspan>（第页）定理1的证明。我们将在不假设（a）的情况下计算$\{p\equiva\bmodm\}$的Dirichlet密度，然后看看为什么（a）和（b）是等价的。平凡的Dirichlet字符模$m$将被写入$\mathbf 1_m$</sspan>（第页）对于每个Dirichlet字符$\chi\bmod m$，$L（s，\chi）$</sspan>是对${\rm Re}（s）&gt；的分析；0$除了$L（s，{\mathbf 1}_m）$</sspan>在$s=1$</spa>有一个简单极点。设置$$n（chi）：={\rm ord}_{s=1}（L（s，chi））$$因此，对于所有非平凡的$\chi$，$n（{\mathbf1}_m）=-1$和$（\chi）\geq0$</sspan>（第页）对于${\rm Re}（s）&gt；1$和$（a，m）=1$，$$\sum{p\equiva\bmodm}\frac{1}{p^s}=\frac{1}{\varphi（m）}\sum{p}\sum{\chi}\frac{\chi（p）\overline{\chi{（a）}{p^s}=\frac{1}{\varphi（m）}\sum{\chi}\上划线{\chi{（a）\左（\sum{p}\frac{\chi（p）}｛p^s｝\右）$$其中右边的和遍历所有素数$p$和所有Dirichlet字符$\chi\bmod-m$。对于Dirichlet字符$\chi\bmod m$和${\rm Re}（s）&gt；1美元，$$\对数L（s，\chi）=\sum_p\frac{\chi（p）}{p^s}+\sum_{p，k\geq2}\frac}\chi，$$其中$O$常量是$\sum_{p，k\geq2}1/（kp^k）$，因此$$\sum{p\equiva\bmodm}\frac{1}{p^s}=\裂缝{1}{\varphi（m）}\sum_{\chi\bmod-m}\上横线{\chi}（a）\log L（s，\chi）+O（1）。美元现在，让我们按照上面的顺序消失$n（\chi）$。对于$1$附近的$s$</sspan>，$L（s，chi）=（s-1）^{n（chi）}f_chi>$f_chi（1）不=0$。因此，$f_chi（s）$在$s=1$左右有一个解析对数（定义明确，可以加上$2\pii$的整数倍），对于$s&gt；1美元，$\log L（s，chi）=n（\chi）\log（s-1）+ell_{f_chi}$，其中$\ell{f_chi}$是$f_chi$</sspan>的合适对数。因此$$\log L（s，\chi）=n（\chi）\log（s-1）+O_\chi（1）$$对于右边靠近$1$的$s$</sspan>，将其插入上面显示的公式中，\开始{align}\sum_｛p\equiv a\bmod m｝\frac｛1｝｛p^s｝&amp；=\裂缝{1}{\varphi（m）}\sum_{\chi\bmodm}\overline{\chi}（a）（n（chi）\log（s-1）+O\chi（1））+O（1）\\&amp=\压裂{1}{\varphi（m）}\左（sum{\chi}\上横线{\chi}（a）n（chi）\右）\log（s-1）+Om（1）。\结束{align}要计算Dirichlet密度，我们想用$\sump1/p^s$来划分两边右边的$1$附近的$s$</sspan>。对于这种$s$，$$\log\zeta（s）=\sum_p\frac{1}{p^s}+O（1）=-\log（s-1）+O（一）。$$因此$\sum_p 1/p^s\sim-\log（s-1）$作为$s\到1^+$，所以除以$\sum_p 1/p^s$，并将$s\设为1^+$得到\开始｛方程式｝\lim{s\到1^+}\裂缝{\sum_{p\equiva\bmodm}1/p^s}{\sum_p1/p^s}=\压裂{1}{\varphi（m）}\左（-\sum{\chi}\上横线{\chi}（a）n（\chi）\右），\结束{方程式}它表示$\{p\equiva\bmodm\}$的Dirichlet密度作为$\chi$的消失$n（\chi）$的顺序在Dirichlet字符mod上运行（第页）如果（a）为真，则对于所有非平凡的$\chi$，上述极限计算的右侧是$（1/\varphi（m））（-n（{\mathbf 1}_m））=1/\varph（m）$，即（b）（第页）相反，如果（b）为真，则$$\sum{chi}\上划线{chi}（a）n（chi）=-1$$对于所有$a\in（\mathbf Z/m\ mathbf Z）^\乘以$的极限计算。为什么这意味着对于非平凡的$\chi$，$n（\chi）=0$（第页）使用由所有Dirichlet字符mod索引的复数向量$m$，让${\mathbf n}_m=（n（\chi））_\chi$和${\mathbf v}_a=（\chi（a））_\chi$对于每个$a\in（\mathbf-Z/m\mathbfZ）^\次$</sspan>。所有复数向量的空间都有维度$\varphi（m）$，它有Hermitian内积$\langle\mathbfz，\mathbf w\rangle=\frac{1}{\varphi（m）}\sum_{\chi}z_\chi\上划线{w_\chi}$，其中向量是Dirichlet字符mod的正交关系的正交基。上面显示的公式表示$\langle{mathbfn}_m，{mathbf v}_a\rangle=-1/\varphi（m$${mathbfn}_m=\sum_{a}\langle{mathbf n}_m，{mathbf-v}_a\rangle{mathbv}_a=-\frac{1}{\varphi（m）}\sum_a}{\mathbfv}_a。$$对于每个非平凡的$\chi\bmod m$$\sum_{a}{\mathbfv}_a$是$\sum_a\chi（a）$，即$0$。因此，$\chi$-${\mathbf n}_m$</sspan>的组件，即$n（\chi）$</sPA>，为0。这就是（a）（第页）QED定理1。（我只是在复制并粘贴之后才意识到我已经复制并粘贴了它，作为对MO问题的回答<a href=“https://mathoverflow.net/questions/403674/how-essential-is-the-vanishing-of-the-dirichlet-l-functions-to-irichlets-the“>此处</a>。）定理2。对于每个$m\geq 1$，以下是等价的（第页）a）对于所有Dirichlet字符$\chi\bmod m$，当${\rm Re}（s）=1$</sspan>时，$L（s，\chi）不=0$</sp>（第页）b） $\sum_{n\leqx}\chi（n）\Lambda（n）=o（x）$对于非平凡的Dirichlet字符$\chi\bmod m$和$\sum_{n\leqx}\chi_{{mathbf1}_m}（n）\Lambda（n）\simx$c）对于所有$a\in（\mathbf Z/m\ mathbf Z）^\次$，$|\{p\leq x:p\equiv a\bmod-m\}|\sim（1/\varphi（m））x/\log x$</sspan>（第页）将下面定理2的证明与2734364041答案中的草图进行比较，我们也将使用Tauberian定理（证明（b）隐含（c）），但我们不需要显式公式（第页）定理2的证明（第页）我们将证明（a）等价于（b），（b）等价于（c）（第页）首先我们展示（a）暗示（b）。为所有$\chi$设置$\psi_\chi（x）=\sum_{n\leqx}\chi（b）对于非平凡的$\chi$和$\psi_{\mathbf1}_m}（x）\sim x$，表示$\psi（x）=o（x）$</sspan>（第页）对于$\sigma&gt；对于所有Dirichlet字符$\chi\bmod m$，因此，$\psi_\chi（x）$是$-L'（s，\chi）/L（s，\ chi）$</span的系数的部分和。由于通过（a），$\sigma=1$上的$L（s，{\mathbf 1}_m）不=0$</sspan>，除了在$\simma\geq 1$</spa>上的一个简单极点外“马特集装箱”>$s=1$，剩余为1，它具有非负Dirichlet级数系数，其中$\psi{{mathbf1}_m}（x）=O（x）$</sspan>。因此，根据纽曼的Tauberian定理，$\psi_{{mathbf1}_m}（x）\simx$是（b）的一部分。为了得到（b）的其余部分，即对于非平凡的$\chi$，我们有$\psi_\chi（x）=o（x）$是全纯的（a）它的Dirichlet级数系数满足所有$$|\chi（n）\Lambda（n）|\leq{\mathbf 1}_m（n）\ Lambda）$使用比较Dirichlet序列$-L'（s，{mathbf 1}_m）/L（第页）因此（a）意味着（b）（第页）为了表明（b）意味着（a），我们将使用以下事实。对于所有$T\geq 1$上的函数$a（x）$</sspan>，因此$f（s）：=\int_1^/x^s）dx/x$在$\sigma&gt；上绝对收敛；1$，如果$a（x）到0$</sspan>作为$x\to\finfty$</spa>并且$\西格玛=1$。（通过使用$a（x）=\psi（x）/x-1$，这用于显示条件$\psi（x）\sim x$在$\sigma=1$</sspan>上表示$\zeta（s）不=0$</spa>。）由于积分表示$$-\压裂{L'（s，\chi）}{sL（s，\ chi）{=\int_1^\infty\frac{\psi_\chi（x）}{x}\frac}{x^s}$$和$$-\压裂{L'（s，{\mathbf 1}_m）}{sL（s，}\mathbf1}_m）}-\frac{1}{s-1}=\int_1^\infty\left（\frac}\psi{\matHBf1}（x）}{x}-1\right）\frac[dx}{x^s}，$$对于${\rm Re}（s）&gt；1$，其中$\chi$在第一个等式中很重要。当非平凡的$\chi$和$a（x）=\psi_{{mathbf 1}_m}（x）/x-1$得出结论：对于非平凡的$\chi$和$L'（s，{\mathbf 1}_m）/L（s，[\mathbf1}_m]）$\sigma=1$</sspan>是全纯的$L（s，\chi）$对$\sigma=1$</sspan>无效，并且$L（s，{\mathbf 1}_m）$在$\sigma=1$</sspan>上是无差异的。因此（b）意味着（a）（第页）这（b）意味着（c）是由所有非平凡的$\chi$的$-L'（s，\chi）/L（s，\ chi）$</sspan>的上述积分表示通过标准方法证明的（c）（第页）我们的最后一步是显示（c）意味着（b）。当$（a，m）=1$和$\pi_\chi（x）=\sum_{p\leqx}\chi，其中，$\chi$是Dirichlet字符mod$m$。将$\chi$写成$（\mathbf Z/m\mathbf Z）^\times$上的delta函数：$\chi=\sum_{a\in（\mathbf Z/m\mathbf-Z）^\times}\chi（a）\delta_a$。然后\开始{align*}\pi_\chi（x）&=\sum{p\leqx}\chi（p）\\&amp；=\sum_{p\leqx}\sum_{a\in（\mathbfZ/m\mathbf Z）^\times}\chi（a）\delta_a（p）\\&amp；=\sum_{a\in（\mathbfZ/m\mathbf Z）^\times}\chi（a）\left（\sum_{p\leqx}\delta_a（p）\right）\\&amp；=\sum_{a\in（\mathbf Z/m\mathbf-Z）^\times}\chi（a）\pi（x；a\bmod-m），\结束{align*}所以$$\压裂{\pi_\chi（x）}{x/\log x}=\sum_{a\in（\mathbf Z/m\mathbfZ）^\times}\chi[a）\frac{\pi（x；a\bmodm）}{x/\log-x}。$$通过（c），当$x\to.infty$右侧趋于$\sum_{a\in（{\mathbf Z}/m{\mathbf Z}）^\times}\chi（a）/\varphi（m）$，如果$\chi$非常重要，则为0。因此，当$\chi$不平凡时，我们有$\pi_\chi（x）=o（x/\log x）$，这意味着与$\pi（x）\sim x/\log x$相同的参数意味着$\psi（x）\sim x$。显示（c）意味着$\psi_{{mathbf 1}_m}（x）\sim x$，将（c）中的所有关系求和到得到素数定理$\pi（x）\sim x/\log x$，其中等于因此$\psi_{{mathbf1}_m}（x）\sim x$，因为（第页）QED定理2更新（2022）：素数定理$\pi（x）\sim x/\log x$等效于涉及Moebius函数的两个属性：$\sum_｛n\leq x｝\mu（n）=o（x）$和$\sum\mu（n）/n=0$。这些都与定理2中的类似。请参见<a href=“https://mathoverflow.net/questions/426773/averages-of-m%c3%b6bius-function-in-arthmetic-progressions/426811“>此处</a>