mathoverflow.net上最近的30个 2024-06-22T01:07:44Z年 https://mathoverflow.net/feeds/question/238413 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://mathoverflow.net/q/238413 三 乔治·沙坎 https://mathoverflow.net/users/50426 2016年5月9日T21:02:13Z 2016年5月13日16:43:57Z

<p>我的一般问题是，如何证明数域算术级数中质数的等分布结果？我感兴趣的是陪集互素中整数环素元素到固定理想（在正则嵌入的某些合理子集中）的等分布</p>（第页）<p>特别地，对于整数，我们有愉快的恒等式$$\sum_{n\leqx，n\equiva\pmod{q}}\Lambda（n）=\frac{1}{\phi（q）}\sum_}\chi}\bar{\chi}然后可以使用解析数论中的经典工具，例如$L$-函数的无零区域，来估计右边的和</p>（第页）<p>对于数字字段，上述方法似乎存在重大障碍。有没有参考资料可以解决这个问题？（越友好越好！）</p>（第页）<p>编辑：请允许我更准确地回答（针对KConrad）。修正$K$为数字字段，$O_K$为整数环。设$I\leqO_K$是理想，$R$是正则嵌入中的某个有界区域，我们将其表示为$I$。设O_K$中的$a\为$（（a），I）=1$。我对R\\alpha-I（a）\I}}1_P（\alpha）中的$$\sum_{\substack{\alpha\感兴趣，其中，如果$（\alfa）$是素数理想，则$$为1，否则为0</p>（第页）

https://mathoverflow.net/questions/238413/-/238421#238421 10 乔·西尔弗曼 https://mathoverflow.net/users/11926 2016年5月9日下午2:52:41Z 2016年5月9日T22:52:41Z

<p>做这件事的经典方法是重新构造“算术级数中的素数”，告诉你Frobenius的图像是如何均匀分布的。更准确地说，在这种情况下，请看$\text{Gal}中的Frob$_p$（\mathbb Q（\zeta_Q）/\mathbbQ）\cong（\mathbb Z/Q\mathbb-Z）^*$，Dirichlet定理说，随着$p$的变化，图像在$（\mathbb Z/Q \mathbb2 Z）^**$中的同余类之间的分布是相等的。当然，Frob$_p$的图像正好是$p\bmodq$。现在转到数字字段$K$，将$\mathbb Q（\zeta_Q）$替换为任意Galois扩展$L/K$，对于$O_K$中的素数$\mathfrak p$，查看Gal$（L/K）$中的Frob$_{\mathfrak p}$的共轭类。Chebotarev密度定理说，这些图像是均匀分布的，必须根据共轭类的大小进行加权。该证明是狄利克雷的推广，使用了零自由域等。你可以在许多标准文本中找到解释</p>（第页）

https://mathoverflow.net/questions/238413/-/238427#238427 10 大卫·E·斯派尔 https://mathoverflow.net/users/297 2016年5月10日20:27:25Z 2016年5月13日14:55:51Z

<p>第十五章中的定理6，Lang代数数论的$\S$5就是您想要的那种结果。Lang使用ideles来表达它，但他在下一页的示例3中用更经典的语言给出了应用。我首先引用他在示例3中所展示的内容，然后我将尝试重写它，使其听起来更像您想要的</p>（第页）<p><b>Lang的示例3</b>让$k$成为类号为$1$的数字字段。设$k{\infty}$是$k$的阿基米德完备的乘积，那么如果$k$有$s$实嵌入和$2t$虚嵌入，则$k{\ infty{\cong\mathbb{R}^s\times\mathbb}C}^t$。设$k_{\infty}^{\ast}$是$k_}\infty}$的可逆元素组，则$k__{\infty}^{\ast}\cong\mathbb{R}^{s+t}\times（\mathbb{Z}/2）^s\times（s^1）^t$是范数为$1$的元素的子群。设$U$是$k$的单位群，所以对于某些$j$和$k{infty}^{ast，1}/U\cong（S^1）^{S+2t-1}\times\mathbb{Z}/2^j$。设S^1$的$\sigma:k_{\infty}^{\ast}/U是连续同态，其对$k_{\ infty{^{\st，1}/U$的限制是满射的。然后$\sigma（\pi）$在$S^1$中等量分布，因为$\pi$在素理想的生成元上的范围内，每个素理想取一次</p>（第页）<p>好的，但你也希望被允许对你的理想施加同余条件，并与其他类号一起工作。朗的定理6做到了这一点，但他只是从概念上加以阐述。我相信以下是经典版本</p>（第页）<p>设$\mathfrak{m}$是$k$的（非零）理想，$H$是$\matchfrak{m}$-ray类群，这意味着理想相对于生成元为$1\bmod\mathfrak{m}$的模主理想是素的。通过Cebatorov，素理想在有限群$H$中是等分布的，所以我们可以考虑一类$H$，并询问该类素数的阿基米德行为</p>（第页）<p>在所需的类中修复理想$I$，因此理想在该类中是当且仅当它的形式为$\alpha I$，用于I^{-1}$中的某些$\alfa，其中$\alba=1\bmod\mathfrak{m}$。设$P\subset I^{-1}$是$\alpha$的集合，它是$\bmod\mathfrak{m}$，其中$\alfa-I$是素数。我们有$P\subset I^{-1}\subset k\otimes\mathbb{R}=k_{infty}$。大致上，我们将声称$P$是均匀分布的</p>（第页）<p>设$U$是一组单位，它们是$1\bmod\mathfrak{m}$。选择一个连续的群同态$\sigma$将$k^{ast}_{infty}/U$收缩到$k^}\ast，1}_{infty}-U$上。然后$\sigma（P）$在紧群$k^{ast，1}_{infty}/U$中均匀分布</p>（第页）<p>如果这太抽象，请注意一个具体的例子是高斯素数在$\mathbb{C}$的楔形区域中的均匀分布。请参见<a href=“https://mathoverflow.net/questions/133410/hecke-equidistribution网站“>这里</a>，这是我学习Lang参考的地方</p>

https://mathoverflow.net/questions/238413/-/238783#238783 5 来自MO的GH https://mathoverflow.net/users/11919 2016年5月13日16:31:32Z 2016年5月13日16:43:57Z

<p>David Speyer和Joe Silverman的回应非常好。我只是想添加一个我最近遇到的相关参考。它包含了Linnik数域定理的一个版本，它很好也很有用（特别是见定理5.2）：<a href=“http://www.digizeitschriften.de/dms/img/？PID=GDZPPN002200058“rel=”noreferrer“>Weiss-最小素数理想</p>