最小素本原根-MathOverflow

最小素本原根-MathOverflow mathoverflow.net上最近的30个 2024-06-02T23:09:13Z年 https://mathoverflow.net/feeds/question/12594 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://mathoverflow.net/q/12594 9 最小素数本原根乔埃尔 https://mathoverflow.net/users/9317 2012年11月16日17:16:07Z 2020-05-04T16:09:54 Z

对于$p$a素数，让$G（p）$是最小的prime$q$，这样$q$是一个基元根mod$p$，即$q$生成乘法群$（\mathbb Z/p\mathbbZ$）*（第页）＜区块报价＞已知$G（p）=O（p）$吗？我不介意答案是假设GRH还是其他标准猜想（第页）</blockquote>我对所有$p$的结果都感兴趣，而对排除密度$0$或其他较小的$p$集的结果则少得多（尽管有点）。我注意到，在文献中更容易找到$g（p）$的边界，即最小整数$n$，因此$n$是一个基元根mod$p$。例如$g（p）=O（p^{1/2+\epsilon}）$在20世纪30年代是Vonogradov无条件知道的（此后我们得到了更好的无条件结果），并且对于GRH，我们得到了$g（p）=O（log^A p）$类型的结果，其中$A$是一些小常数。但我们对$G（p）$的最佳结果是什么？最佳预期结果是什么（第页）我对$G（p）$而不是$G（p）美元感兴趣，因为我用这个问题来测试那里各种有效形式的切博塔列夫，而切博塔雷夫提供质数。我能用这种方式证明的最好结果是，在GRH下，使用Ram Murty和Kumar Murty的书中的8.3命题“$L$的非消失-函数和应用”，$G（p）=O（p\log^｛6+\epsilon｝p）$（编辑：我在$\log$的指数上犯了一个错误）。使用Lagarias-Odlyzko的GRH版本，我只得到$O（p^2\log^2p）$（第页）编辑：这是GH要求使用Murty和Murty进行估算的证据。Murty和Murty的命题8.3指出，如果$G$是$\mathbb Q$的扩展$L$的Galois群，$D$是$G$中共轭类的并集，并且$M=\sum\log p$的和是在$L$中分支的素数上，那么$$|\pi_D（x）-\frac{|D|}{|G|}Li\，x|&lt；C|D|^{1/2}x^{1/2}\log（Mx）$$其中$C$是一个绝对常数，$\pi_D（x）$是素数$p\leqx$的数量，因此$Frob_p\在D$中（第页）让我们将其应用于$G=（\mathbb Z/p\mathbbZ）^\ast$中的$L=\mathbb-Q（\mu_p）$，$D=$本原根集。如果对于某些实际的$x$，主项$\frac{|D|}{|G|}Lix=Li（x）/2$大于错误项$C|D|^{1/2}x^{1/2]\log（px）$，则$\pi_D（x）&gt；0$表示$G（p）&lt；x美元（第页）所以我们写下这个不等式，并用$|D|=\phi（p-1）$求解$x$，然后替换$Li（x）$乘以$x/\log x$，这只会更改常量$C$。所以我们想要：$$x/（\log（x）x^{1/2}）&gt；C\phi（p-1）^{1/2}（\log p+\log x）$$自$\log p\log x&gt；起；\log p+\log x$，但$x$小得离谱，这就足够了$$x/（\log（x）x^｛1/2｝）&gt；C\phi（p-1）^{1/2}\log p\log x$$或者取正方形，$$x/\log^4（x）&gt；C^2\phi（p-1）\log^2 p$$这意味着$$x&gt；美元；C'\phi（p-1）\log^2 p\log^4（\phi（p-1）\log^2 p）$$因此，$G（p）=O（\phi（p-1）\log^2p\log^4（\pi（p-1）\og^2p））=O（p\log ^{6+\epsilon}p）$（第页）

https://mathoverflow.net/questions/112594/-/112601#112601 13 最小素数本原根的匿名回答匿名 https://mathoverflow.net/users/27984 2012年11月16日18:05:22Z 2020-05-04T16:09:54 Z

有关预期行为，请参阅Paszkiewicz和Schinzel的论文“<a href=”https://www.jstor.org/stable/2698910“rel=”nofollow noreferrer“>关于最小素数基根模a素数</a>”在数学中。压缩机。71（2002），第239、1307–1321号。在那里，他们检验了巴赫的一个猜想， $$\limsup\frac{G（p）}{（\log p）（\log\log p）^2}=e^{\gamma}$$众所周知，几乎总是$G（p）$受$\log{p}$</sspan>的固定幂限制，如果我们假设GRH，“几乎”一词可以删除，只要$p-1$没有非典型的多个素因子，就可以做得更好。）我所知道的这方面最好的成绩要归功于格雷格·马丁；参见“<a href=”https://eudml.org/doc/207043《阿里斯学报》中的“rel=”nofollow noreferrer“>最小素本原根和移位筛</a>”。80（1997），第3期，277–288；也在<a href=“https://arxiv.org/abs/math/9807104“rel=”nofollow noreferrer“>arxiv</a>无条件地，我认为对于所有大型的$p$，$G（p）$都小于$p$</sspan>，这甚至是未知的（第页）