5.结论

我们对数学的基本直觉在某种程度上是从我们日常生活中抽象出来的世界[19]。a的概念设置, 例如，形式化了我们对成堆鹅卵石的一些直觉，成群的羊等等。这些东西都很漂亮经典物理学描述得很好，至少总的来说是这样的特征。因此，基于数学的集合论可以成功地描述微观世界，其中量子物理学至高无上。然而，除了整体`数学的惊人有效性”，这不应该真的来吧，让我大吃一惊。毕竟，集合论足够灵活任何一种有效的预测算法都可以用集合论语言编码：甚至Peano算术就足够了。

但是，我们不应该被哄骗而接受集合和函数的类别正是因为它的灵活性。我们可以使用集合论作为研究量子现象的框架并不意味着这是最具启发性的方法。事实上，著名的反直觉微观世界的行为表明，不仅集合论，但即使是经典逻辑也没有优化理解量子系统。虽然没有真正的悖论可以随心所欲地计算每一件事，这是人们经常感觉到的一个人“间接地”掌握这些系统，就像核武器电厂操作员在平板玻璃后处理放射性物质带有机器人手臂的窗口。这种距离感反映在关于“量子力学解释”的没完没了的文献，以及不断调用“观察者”之间的分裂和“系统”。古典逻辑似乎继续适用虽然量子理论的神秘规则只适用于我们我们正在研究的物理系统。但这当然不是没错：我们是被研究的世界的一部分。

对于范畴理论家来说，这提出了一种可能性量子理论在观察时可能更有意义，而不是从集合和函数的类别，但在其他类别中：例如${\rm希尔布}$Hilbert空间的范畴和有界线性运算符。当然，定义它是最方便的并借助集合论对其进行研究。然而，由于我们已经看到，希尔伯特空间是一组配备了额外的在尝试理解${\rm希尔布}$，因为它的形态不是保留这个多余的结构。因此，我们可以获得新的理解试图接受量子理论${\rm希尔布}$就其本身而言，不受来自该类别的先入之见的束缚${\rm集合}$.作为科尔菲尔德[10]写道：“分类理论让你可以工作无需首先将其粉碎成块的结构理论尘埃。举一个建筑领域的例子，学习巴黎圣母院大教堂时，你会尝试了解这座建筑与当时的其他大教堂相关，然后与更早的教堂相关以及后来的大教堂和其他类型的教会建筑。你不需要从想象它变成一堆开始矿物碎片。”

在本文中，我们试图非常准确地说明一些直觉取自${\rm集合}$失败（fail in）${\rm希尔布}$。即：不同$｛\rm集｝$,${\rm希尔布}$是一个-范畴和一个单体范畴，其中张量积是非承压的。但是，真正有趣的是以何种方式${\rm希尔布}$不同于${\rm集合}$就是这样它类似于$n{\rm Cob}$，类别-维度的歧管和-在这些之间的维度坐标歧管。在广义相对论中，这些坐标表示`spacetimes”。因此，从分类理论的角度来看希尔伯特空间之间的有界线性算子的作用更像时空比a功能这不仅给我们带来了新的曙光在一些经典的量子难题上，这对主体来说也是个好兆头量子引力的任务，即使量子理论与一般引力相协调相对论。

充其量，我们只成功地勾画了之间的类比${\rm希尔布}$和$n{\rm Cob}$.英寸更详细的处理，我们将解释如何${\rm希尔布}$和$n{\rm Cob}$是“带对偶的对称单体范畴”——一个概念它包括一个单体范畴和一个-类别。此外，我们将解释酉拓扑量子场理论充分利用了这一事实。然而，关于这可以在其他地方找到[6]它必然会导致我们陷入了更深的数学领域，而这些领域并非如此直接哲学兴趣。因此，我想以谈谈人们在学习在其他类别中思考${\rm集合}$.

在范畴理论中，人们已经知道了很长一段时间每个类别都有自己的“内部逻辑”，虽然我们可以使用经典逻辑对类别进行外部推理，我们还可以原因在它里面使用它的内部逻辑——这给出了一个非常不同的视角。例如，我们对直觉主义逻辑长期以来来自于对被称为`topoi’，其内部逻辑与经典逻辑不同逻辑主要是对原则的放弃排除中间的[9,11,28]。其他类别有自己的内部形式逻辑。例如，自从Lambek工作以来[18],理论界如此钟爱的类型lambda-calculus据了解，计算机科学家正在兴起作为笛卡尔封闭范畴的内在逻辑。更一般地说，Lawvere的代数语义允许我们将任何“代数理论”视为有限积范畴[21].

到目前为止，有许多教科书对这些观点和它们的影响，从没有假设的介绍范畴理论的先验知识[12,27],到更高级的文本[7,16,20,24].所有这些都表明，现在是时候考虑一下了物理使用的内部逻辑${\rm希尔布}$，或$n{\rm Cob}$，或相关类别。然而，教科书上的治疗方法，甚至大多数关于范畴理论逻辑的研究文献关注单体结构是笛卡尔的类别。对更一般的单体范畴中的逻辑的研究是刚刚开始。更准确地说，在概括`对这类范畴的代数理论进行了研究多年从事拓扑学和物理学[22,25]，是的很难找到明确承认这种关系的工作理论对传统逻辑，甚至量子逻辑的关注。有关一些鼓舞人心的反例，请参阅阿布拉姆斯基的著作和科克[1]还有毛利[26]。所以，我们可以只希望在未来，数学之间有更多的互动，物理学、逻辑学和哲学将带来新的思考方式量子理论和量子引力利用了类别的内部逻辑${\rm希尔布}$和$n{\rm Cob}$.

©2004约翰·贝兹
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