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3.Hilbert空间的*-范畴

希尔伯特空间的类别是什么？虽然我们已经给出了答案，这实际上是一个棘手的问题，一个让很多人类别理论家们非常不安。

为了理解这一点，我们必须首先回顾类别是组织关于各种类型的`数学对象：群、环、向量空间、拓扑空间、流形等等。这些数学对象很常见是具有额外结构和属性的集合，所以让我们把注意力限制在这个案子上。在这里结构我们的意思是在相关集合上定义的操作和关系，而由属性我们的意思是这些操作和关系的公理需要满足。结构和属性的划分从数学定义的标准形式中可以明显看出，例如``小部件是一组配有。。。这样……”这里是结构列在第一个空格中，而属性是在第二个列表中列出。

要建立这种数学对象的类别，我们还必须定义这些对象之间的变形。当对象具有额外结构和属性的套件，形态是通常被认为是保留额外结构的函数.以长篇大论为代价，我们可以完全做到这一点精确——而且更通用，因为我们还可以构建类别通过为其他类别的对象而不是集合配备额外的结构和性能。然而，我们更愿意说明这个想法用一个例子。我们举了一个与之密切相关但微妙的例子不同于希尔伯特空间的范畴：复向量空间。

A类复向量空间是一套配备有由称为加法的操作组成的额外结构

$\开始{displaymath}+\colon V\times V\rightarrow V\end{displayth}$

和标量乘法

$\开始{displaymath}\cdot\colon{\mathbb{C}}\times V\rightarrow V，结束{displayth}$

它又必须具有某些额外的属性：交换性和结合性以及加法的恒等式和逆、结合性和单位律标量乘和标量乘的分配性过度添加。给定向量空间

和

，一个线性算子 $T\冒号V\右箭头V'$ 可以定义为保留所有额外结构的函数。这意味着我们需要的

$\开始{显示方式}T（\psi+\phi）=T（\psi）+T（\ phi）结束{显示方式}$

和

$\开始{显示方式}T（c\psi）=c T（\psi）结束{显示方式}$

为所有人 $\psi，\phi\单位V$ 和 $c\在{\mathbb{c}}中$ 。请注意属性不在此输入。数学家定义类别 ${\rm兽医}$ 有复杂的向量空间作为它的对象和它们之间的线性操作符作为它的形态。

现在比较希尔伯特空间的情况。希尔伯特空间是一个具有复数向量所有结构的集合空间，但也有更多，即内部产品

$\开始{displaymath}\langle\cdot，\cdot\rangle\colon H\times H\rightarrow{\mathbb{C}}。\结束{显示方式}$

类似地，它具有复向量空间的所有属性还有一些：所有人 $\phi，\psi，\psi'\单位为H$ 和 $c\在{\mathbb{c}}中$ 我们有方程

$\开始｛displaymath｝\langle\phi，\psi+\psi'\langle=\langle\phi，\psi\rangle+\langle\pi，\psi’\rangle，\end{显示方式}$

$\开始{displaymath}\langle\phi，c\psi\rangle=c\langle\fhi，\psi\ rangle，\end{displayth}$

$\开始{displaymath}\langle\phi，\psi\rangle=\overline{\langle\fsi，\phi\rangle}，\end{displayth}$

加上不平等

$\开始{displaymath}\langle\psi，\psi\rangle\ge 0\end{displayth}$

其中，只有当 $\psi=0$ ; 此外，规范定义了内积必须完整。给定Hilbert空间

和

，一个函数 $T\冒号H\右箭头H'$ 因此，保持所有结构的是一个线性算子保存内部产品：

$\开始{displaymath}\langle T\phi，T\psi\rangle=\langle\phi$

为所有人 $\phi，\psi\单位H$ 。这样的运算符称为等距.

如果我们遵循适用于向量空间的模式以及许多其他数学对象，我们将定义类别 ${\rm希尔布}$ 将希尔伯特空间作为对象等轴测作为形态。然而，这个类别似乎过于狭窄，不适合物理学家的实际操作对于希尔伯特空间：它们经常需要运算符那不是等距线！酉运算符总是等距，但自伴随算子，例如，不是。

我们在本文中采用的替代方法是使用类别 ${\rm希尔布}$ 其对象是希尔伯特空间，且态射是有界的线性运算符。然而，这导致了一个奇怪的谜团。在一个精确技术意义，有限维希尔伯特范畴空间和它们之间的线性算子是相等的到有限维复向量空间和线性算子的范畴。因此，在定义这个类别时，我们不妨忽略内积完全正确！因此，困惑在于内部产品（如果有的话）扮演什么角色在该类别中播放。

一般、可能无限维Hilbert空间的情形更微妙，但谜团依然存在。所有希尔伯特的类别它们之间的空间和有界线性算子是不等价于所有复向量空间和线性空间的范畴操作员。然而，它是等同于类别“Hilbertizable”向量空间——即配备向量空间拓扑来自一些希尔伯特空间结构--以及它们之间的连续线性算子。因此，在定义这一类，重要的不是内部产品，而仅仅是它产生的拓扑结构。关键是有界线性算子不要保留内积，只保留拓扑和结构就类别而言，还不如忽略未保存的内容令人担忧。

我解决这个难题很简单，但有点烦人大多数范畴理论家。我承认内在产品是无关紧要的在定义Hilbert空间和有界线性空间的范畴时操作员。然而，我坚持认为它在该类别为 $美元\ ast$$ -类别！

什么是 $美元\ ast$$ -类别？它是一个类别配备了发送每个态射的映射 $f\冒号X\右箭头Y$ 到同态 $f^\ast\冒号Y\右箭头X$ ，令人满意

$\开始{显示方式}1_X^\ast=1_X，结束{displaymath}$

$\开始{displaymath}（fg）^\ast=g^\astf^\ast，结束{displayth}$

和

$\开始{显示方式}f^{\ast\ast}=f.\end{displaymath}$

制造 ${\rm希尔布}$ 到 $美元\ ast$$ -类别we定义 $T^\ast（美元）$ 对于任何有界线性算子 $T\冒号H\右箭头H'$ 成为伴随操作人员 $T^\ast H'\右箭头H$ ，给定通过

$\开始{displaymath}\langle T^\ast\psi，\phi\rangle=\langle\psi，T\phi\rangle。\结束{显示方式}$

通过这个公式，我们可以看到两个函数的内积

和

需要定义

事实上，我们可以完全恢复每个Hilbert空间 $美元\ ast$$ -类别结构 ${\rm希尔布}$ . 给定希尔伯特空间和一个向量 $\psi\单位：H$ ,有一个唯一的运算符 $T_\psi\冒号{\mathbb{C}}\rightarrow H$ 具有 $T_\psi（1）=\psi$ 相反，来自 ${\mathbb{C}}$ 到确定中的唯一向量这种方式。所以，我们可以考虑希尔伯特空间作为形态 ${\mathbb{C}}$ 到这个希尔伯特空间。使用这个技巧，一个简单的计算表明

$\开始{displaymath}\langle\phi，\psi\rangle={T_\phi}^{\！\！\ast}\，T_\psi。\结束{显示方式}$

右侧实际上是一个线性运算符 ${\mathbb{C}}$ 到 ${\mathbb{C}}$ ，但有一种规范的方法可以用复数。所以，关于内积的一切都编码在这个 $美元\ ast$$ -类别结构 ${\rm希尔布}$ 此外，这种方式思考内部产品使狄拉克的旧思想正式化。操作员 $T_\psi$ 真的只是狄拉克的“ket” $\ vert\psi\范围$ ,虽然 ${T_\phi}^{\！\！\ast}$ 是“胸罩”吗 $美元\langle\phi\vert$$ .作曲一个带胸罩的小背心，我们得到了里面的产品。

这表明伴随词是如何与内积紧密相连的Hilbert空间上的结构。但物理意义是什么算子的伴随，或者更一般地说 $美元\ ast$$ 操作在任何 $美元\ ast$$ -类别？最根本的是 $美元\ ast$$ 操作给了我们一种“反转”态射的方法，即使它不是可逆的。如果我们认为内部产品是一种过渡量子理论中的态间振幅，方程 $\langle T^\ast\phi，\psi\rangle=\langle\phi$ 这么说 $T^\ast（美元）$ 是我们可以对任何状态执行的唯一操作 $美元\斐$$ 因此，从 $美元\psi$$ 到 $美元\斐$$ 与中的相同 $美元\psi$$ 到 $T^\ast\phi$ 。因此，我们可以用一种暗示性但松散的方式说由描述 $T^\ast（美元）$ 是某种“时间反转”版本的由描述的过程.如果是单一的， $T^\ast（美元）$ 只是的倒数.但是， $T^\上次$ 即使在以下情况下也有意义没有反向！

这种暗示性但松散的关系 $美元\ ast$$ 操作和在以下情况下，时间反转变得更加精确 $n{\rm Cob}$ .这里是 $美元\ ast$$ 操作真的是时间反转。更多准确地说，给定一个-维坐标 $M\冒号S\右箭头S'$ ,我们让伴随合作主义 $M^\ast\冒号S'\rightarrow S$ 成为相同的流形，但包含其“过去”和“未来”部分边界切换，如图7所示。很容易检查这使得 $n{\rm Cob}$ 到 $美元\ ast$$ -类别。

**图7：**协元及其伴随
$\开始{figure}\vskip 2em\开始{displaymath}\vcenter（vcenter）{\xy0/30根/根：(0,-3)...…（-14,6）+{S'}；（-14，-11）+{S}}\末端}\end{displaymath}\medskip\end{figure}$

在所谓的单一的拓扑量子场论（术语有点令人遗憾），我们要求函子 $Z\冒号n{\rm Cob}\rightarrow{\rm-Hilb}$ 保存 $美元\ ast$$ -类别结构如下：

$\开始{显示方式}Z（M^\ast）=Z（M）^\ast。\结束{显示方式}$

物理学中所有感兴趣的TQFT都具有这种特性共形场理论和其他量子场的性质保持关于弯曲时空的理论。这意味着在广义相对论和量子理论，时间的模拟反转是在希尔伯特空间之间取算子的伴随.“反转”时空 $M\冒号S\右箭头S'$ 我们正式切换未来和过去的概念，同时“反转”过程 $T\冒号H\右箭头H'$ 我们取它的伴随词。

认真对待这个类比会使我们朝着一些有趣的方向前进。首先，自从 $美元\ ast$$ 中的操作 $n{\rm Cob}$ 按时间给出反转，同时 $美元\ ast$$ 中的操作 ${\rm希尔布}$ 使用内部产品，时间反转和量子理论中的内积！至少细节仍不清楚但我们可以通过思考以下几点来取得一些进展方程式，我们最初引入它是为了表达伴随算子的内积：

$\开始{displaymath}\langle\phi，\psi\rangle={T_\phi}^{\！\！\ast}\，T_\psi。\结束{显示方式}$

一个如此重要的等式不应该仅仅是一个把戏！尝试解释它，假设在某种意义上操作员 $T_\psi$ 描述了“使系统处于状态的准备过程” $美元\psi$$ '，而 ${T_\phi}^{\！\！\ast}$ 描述了`观察系统的状态 $美元\斐$$ '. 鉴于此， ${T_\phi}^{\！\！\ ast}\，T_\psi$ 应该描述第一个使系统处于状态 $美元\psi$$ 然后观察它处于状态 $美元\斐$$ 。然后，上述等式将其联系起来过渡振幅的合成过程 $美元\langle\phi，\psi\范围$$ 此外，我们看到“观察”就像时间倒转“preparation”的版本。所有这些使一种粗略的直觉感觉。然而，这些想法可能需要大量的阐述和澄清。我在这里提到它们主要是为了为进一步思考。

第二，不太投机的是，方程式 $Z（M^\ast）=Z（M）^\ast$ 揭示了拓扑变化与统一性的失败，已经在中提到章节2.在任何 $\上次$ -范畴，我们可以定义一个态射 $f\冒号x\右箭头y$ 成为单一的如果 $f^\ast f=1_x$ 和 $ff^\ast=1_y$ .对于中的态射 ${\rm希尔布}$ 这就归结为线性的酉性的通常定义操作员。可以证明一个态射在里面 $n{\rm Cob}$ 是酉的，如果不涉及拓扑更改，或者更准确地说，如果与区间和某些区间的笛卡尔积-尺寸歧管。（反之亦然，当小于或等于3，但它在更高级别失败尺寸.）TQFT满足 $Z（M^\ast）=Z（M）^\ast$ 地图中的幺正态射 $n{\rm Cob}$ 到中的幺正态射 ${\rm希尔布}$ ，所以对于这种TQFT，没有拓扑更改意味着统一时间演化这个事实已经强化了一点著名的弯曲时空量子场论，即幺正时间演化不是量子理论的固有特征而是关于自然的具体假设的结果时空的[13].

总之，对比一下很有趣 $n{\rm Cob}$ 和 ${\rm希尔布}$ 具有更熟悉的类别 ${\rm集合}$ ，其对象是集合，其对象态射是函数。没有办法 ${\rm集合}$ 到 $美元\ ast$$ -类别，因为无法从将空集转换为单元素集。所以，我们对集合和函数对我们的理解帮助不大 $美元\ ast$$ -类别。这个问题是函数的概念是基于直觉与过去和未来：函数 $f\冒号S\右箭头S'$ 是这样一种关系：的元素正好与的一个元素相关，但不是反之亦然。无论好坏，这个内置的“箭头时间在量子理论的基本概念中没有位置。

考虑到这一点，很快就会发现，如果我们想要一个简单的示例 $美元\ ast$$ -类别以外的 ${\rm希尔布}$ 帮助建立我们的关于的直觉 $美元\ ast$$ -类别，我们不应该使用 ${\rm集合}$ 但是 ${\rm关系}$ 、集合的类别和关系事实上，量子理论可以被视为关系理论的修正版本哪个布尔代数已被复数代数取代数字！要看到这一点，请注意两个希尔伯特之间的线性算子只要我们为每一个选择一个正交基。类似地，一个关系协议双方：套和可以用真值矩阵来描述，即命题的真值哪里 $x\单位：S$ 和 $y\以S表示$ .关系的组合可以定义为矩阵用“or”和“and”进行乘法，扮演“plus”和`时间”。很容易检查这是关联的，并且有一个每个集合的同一态射，因此我们得到了一个范畴 ${\rm关系}$ 带有设置为对象，关系设置为形态。此外， ${\rm关系}$ 成为 $美元\ ast$$ -类别，如果我们定义关系 $R^\ast（美元）$ 通过说那个 $xR^\上一年$ 当且仅当正如线性矩阵操作人员 $T^\ast（美元）$ 是矩阵的共轭转置，的关系矩阵 $R^\ast（美元）$ 是矩阵的转置.

因此，希尔伯特空间的范畴与关系。主要区别在于二进制真值描述转换是否可能被复杂替换描述转换发生时振幅的数字。之间的比较 ${\rm希尔布}$ 和 ${\rm关系}$ 是丰硕的资源直觉不仅仅是关于 $美元\ ast$$ -类别，但也关于矩阵力学的含义。为了进一步探索沿着这些路线，可以看到艾布拉姆斯基和科克的作品[1].

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