随机排列（第0部分）

我爱上了随机排列它们既简单又深刻。我喜欢把随机排列想象成一种受统计力学定律支配的“循环气体”。我还没有很好地理解这个类比。但我学到了很多有趣的东西。

这里有许多关于随机排列的可爱事实之一——虽然不太容易证明，但很可爱。

设（a_n）是置换中最长循环的平均长度，对一个元素集的所有置换进行平均。则\（a_n\）渐近等于\（lambda n\），其中

\[lambda\约0.6243299885\点\]

被称为Golomb–Dickman常数。这个常数有一个很酷的公式：\[\lambda=\int_0^1 e^{\mathrm{Li}（x）}dx\；\；\textrm{where}\；\但没有人能够证明这是不合理的！

Golomb–Dickman常数也出现在数论中。。。以非常相似的方式！如果随机选择一个大的（n）位整数，其最大素因子的平均位数将渐近到（lambda n）。

所以，素因子分解和随机置换之间有联系！这个事实比Golomb–Dickman常数更简单，也更有趣。您可以在此处阅读更多信息：

Golomb–Dickman常数是欧拉常数的一种相对值，尽管还没有已知的公式用另一个来表示。

这是这个常数的另一个外观。假设您从一个巨大的元素集中随机选择一个函数。则其最长周期轨道的平均长度渐近于

\[\lambda\；\sqrt{\frac{\pin}{2}}\]

下次我将开始解释关于随机排列的其他一些事实的证明——这些事实更容易证明！

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