第26讲-单音单音

范畴理论的一个主要教训是，每当你想到某种数学小工具时，你也应该考虑地图之间这类小工具。例如，当你考虑集合时，你也应该考虑函数。当你考虑向量空间时，你也应该考虑线性映射。等等。

我们一直在讨论各种单体序数。那么，让我们考虑一下地图之间单体序数。

正如我在中解释的那样第22讲，单体前序是预先订购和a幺半群所以让我们考虑一下前序之间的映射和幺半群之间的映射，并尝试将它们杂交。

我们已经看到了预订单之间的映射：它们被称为单调函数:

定义。A类单调函数从预序\（（X，\le_X）\）到\（（Y，\ le_Y）\）是一个函数\（f:X\到Y\），这样

[x\le_x x’\textrm{表示}f（x’）\le_Y f（x'）]

对于所有元素\（x，x'\ in x\）。

因此，这些函数保留了预订单所具有的内容，即关系\（\le\）。另一方面，幺半群有一个结合运算（otimes）和一个单位元素（I）。所以，幺半群之间的映射应该保留这些！这就是这个游戏的工作原理。

为了吓唬人们，数学家称这些地图为“同态”：

定义。A类同态从幺半群\（（X，\otimes_X，I_X）\）到幺半群（（Y，\otimes_Y，I_Y）\）是一个函数\（f:X\到Y\），这样：

[f（x\otimes_x x'）=f（x）\otimess_Y f（x'）]

对于所有元素（x中的x，x'\），以及

[f（I_X）=I_Y。]

你可能已经看到过许多幺半群之间的同态。其中一些你几乎没有注意到。例如，整数集\（\mathbb｛Z｝\）是一个加为\（\otimes\）、数\（0\）为\（I\）的单拟群。实数集合\（\mathbb{R}\）也是如此！有一个函数可以将每个整数转换为实数：

[i:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}.]

这是一个你可能从未想过的乏味函数：它将每个整数发送给它本身，但是视为实数。这个函数是同态！

这是什么意思？看看定义。这意味着您可以将两个自然数相加，然后将结果视为实数。。。或者首先将它们视为一个实数，然后将它们相加。。。不管怎样，你都会得到相同的答案。它还说整数（0）被视为实数，是我们称之为（0）的实数。

无聊的事实！但绝对重要的事实。计算机科学家需要担心这些事情，因为对他们来说整数和实数（或浮点数）是不同的数据类型，并且\（i \）正在进行“类型转换”.

你还看到了许多其他的，更有趣的幺半群之间的同态。

例如，对数函数的整个点就是它是同态。它将乘法运算转换为加法运算：

[\log（x\cdot x'）=\log

它将用于乘法的恒等式携带到用于加法的恒等式：

[\log（1）=0.]

正是出于这个原因，人们发明了对数表和后来的计算尺！他们想把乘法问题转化为更容易的加法问题。

您可能还看到了向量空间之间的线性映射。向量空间给出了一个幺半群，其加法为\（\ otimes\），零向量为\（I\）；向量空间之间的任何线性映射都会给出同态。

拼图80。告诉我一些你经常使用的，或者至少知道的幺半群之间的同态。

我希望我已经说服了你：预序之间的单调函数很重要，幺半群之间的同态也很重要。因此，如果我们将这些概念混合，我们将得到一个可能很重要的概念。

事实证明，有几种不同的方法！最明显的方法就是将所有条件结合起来。还有其他方法，因此这种方法称为“严格”：

定义。A类严格单模态单调从单oid预序\（（X，\le_X，\otimes_X，I_X）\）到单oid预序\（（Y，\le_Y，\otimes_Y，I_Y）\）是一个函数\（f:X\到Y\），使得：

[x\le_x x’\textrm{表示}f（x’）\le_Y f（x'）]

和

[f（x）\otimes_Y f（x'）=f（x\otimess_x x'）]

对于所有元素（x中的x，x'\），以及

[I_Y=f（I_X）。]

例如，同态

[i:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}，]

是一个严格的单体单调数：如果一个整数是另一个整数，那么当我们将它们视为实数时，情况仍然如此。对数函数也是如此。

我们还可以使用什么其他定义，为什么我们会在意？事实证明，有时我们想用不等式替换上述定义中的一些方程！

定义。A类松弛单体单调从单体序\（（X，\le_X，\otimes_X，I_X）\）到单体序（（Y，\le~Y，\otimes_Y，I_Y）\）是一个函数\（f:X\到Y\），这样：

[x\le_x x’\textrm{表示}f（x’）\le_Y f（x'）]

和

[f（x）\otimes_Y f（x'）\le_Y f

对于所有元素（x中的x，x'\），以及

[I_Y\le_Y f（1_X）。]

方和斯皮瓦克把这简单地称为单体单调因为这是他们最喜欢的一种。但我要警告你，其他人称之为“松懈”。

我们还可以扭转最后两个不平等：

定义。安oplax单体单调从单体序\（（X，\le_X，\otimes_X，I_X）\）到单体序（（Y，\le~Y，\otimes_Y，I_Y）\）是一个函数\（f:X\到Y\），这样：

[x\le_x x’\textrm{表示}f（x’）\le_Y f（x'）]

和

[f（x\otimes_x x'）\le_Y f（x）\otimess_Y f

对于所有元素\（x，x'\ in x\），以及

[f（I_X）\le I_Y。]

你现在可能正在沉溺于定义之中，所以让我举几个例子来证明它们是合理的。单调函数

[i:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}]

有一个正确的伴随词

[\lfloor\cdot\rfloor:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}]

它提供了近似值从下面到\（i）的不存在逆：也就是说，\（\lfloorx\rfloor\）是最大的整数，即\（\lex\）。它还有一个左伴随

[\lceil\cdot\ceil:\mathbb｛R｝\to\mathbb｛Z｝]

哪个是最佳近似值从上面到\（i）的不存在逆：也就是说，\（\lceilx\rceil\）是\（\gex\）的最小整数。

谜题81。证明函数\（\lfloor\cdot\rfloor:\mathbb{R}\to\mathbb2{Z}\）、\（\lceil\cdot\srceil:\mathbb{R{to\mathbb{Z}）中的一个是lax单体单调函数，另一个是oplax单形单调函数，在这里，我们使用加法将整数和实数变成单体。

所以，你应该感觉到左右伴随词，以及lax和oplax单体单调词之间的某种关系。我们会更多地讨论这个！我们将看到为什么所有这些东西对资源理论都很重要。

最后，对于你们中最勇敢的人：

谜题82。在单体预序之间找到一个函数，它既是lax单体单调函数，又是oplax单形单调函数，但不是严格的单体单调。

如果你今天没有足够的行话：一个介于lax和oplax单体单调的单体前序之间的函数称为坚强的单体单调。

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