第23讲-交换单体偏序集

让我们看一些交换单体偏序集的例子！你可能在没有意识到的情况下就知道了很多。这就是范畴理论经常做的事：把隐性知识显性化。

上次我们看到许多我们最喜欢的数字系统，如\（mathbb{N}，\ mathbb}Z}，\mathbb[Q}）和\（mathbb{R}）是交换的幺半偏序集，通常使用\（le\），其中\（+）是幺半运算，\（0）是这个运算的单位。你应该想知道：

难题71。你能把复数（mathbb{C}）变成一个交换的单体偏序集吗？如果是这样的话，你能用多少种方法做到这一点？

但更重要的是，我们可以从中得到许多交换单体偏序集逻辑。这可能看起来很奇怪：我们本应该谈论资源理论，但现在我谈论的是逻辑。但这并不奇怪：逻辑是关于语句的。。。和语句，或者如果您愿意，“信息”或“数据”，是一种非常重要的资源！

我们已经看到了不同种类的偏序集给出不同种类的逻辑。例如，在讲座8我们取一个集合（X）的所有子集的集合，定义了（S\leT）if（S\subseteqT），得到一个偏序集，其元素可以看作关于\（X\）元素的语句.英寸第10讲通过考虑集合的所有分区，得到了另一个很好的偏序集和不同形式的逻辑。

通常有二从逻辑形式创建交换单体偏序集的方法！其中一个幺半运算是“join”，\（\vee），通常具有“or”的逻辑含义。在另一个例子中，monoid运算是“meet”，\（\wedge \），它具有“and”的逻辑意义。

让我们看看它是如何工作的。

具有有限连接的偏序集。假设（X，le）是一个偏序集，每个有限子集都有一个连接。这相当于说\（X\）中的每对元素都有一个联接，而空集也有一个联结。

两个元素（x中的x，y\）的联接称为\（x\vee-y\），根据定义，它是大于或等于\（x）和\（y）的最小元素。

空集的联接称为底部元素\（X\），并表示为\（\bot\）。根据定义，它是大于或等于……空集中所有内容的最小元素！换句话说，它是\（X\）的最小元素。

由此我们得到了一个交换的单体偏序集（（X，le，vee，bot））。在逻辑上，\（\vee \）通常表示“或”，\（\ bot \）通常意味着“假”。

拼图72。证明这一点！要证明它是一个单体偏序集，您必须检查\（\vee \）是否关联，\（\bot\vee x=x=x\vee\bot \），以及

[x\lex'\textrm{和}y\ley'\textrm{暗示}x\vee y\lex'\vee y。]

为了证明它是可交换的，你必须检查一下

[x\vee y=y\vee x。]

谜题73。我声称偏序集的每个有限子集都有一个连接，当且仅当每对元素都有连接，而空集有连接。为什么这是真的？

所有这些都有一个适合会议的版本：

有限满足的偏序集。假设\（（X，\le）\）是一个偏序集，其每个有限子集都有一个满足。这相当于说\（X）中的每对元素都有一个meet，而空集也有一个mete。

两个元素（x中的x，y\）的连接称为\（x\wedge y\），根据定义，它是小于或等于\（x）和\（y）的最大元素。

空集的相遇称为顶部元素\（X\），并表示为\（\top\）。根据定义，它是最大的元素，小于或等于……空集中的所有元素！换句话说，它是\（X\）中最大的元素。

由此我们得到了一个交换单体偏序集（（X，le，\wedge，\top））。在逻辑中，\（\wedge\）通常表示“and”，\（\top\）通常意味着“true”。（我们很幸运，在英语中，“true”与“top”以同一个字母开头。）

我们需要详细检查所有这些索赔吗？

不！对于任何偏序集，我们都可以定义一个新的偏序集相反的，其中\（\le\）定义为旧偏序集中的\（\ge\）。旧偏序集中的联接在新偏序集中是相遇的，反之亦然。旧偏序集的底部是新偏序集顶部，反之亦然。使用这个技巧，我们可以将关于具有有限满足的偏序集的所有声明转换为我们已经看到的关于具有有限连接的偏序集中的声明。

向上就是向下！向下就是向上！这个把戏叫做二元性，我在中讨论过第17讲.

我们从逻辑中得到的交换单体偏序集具有一些与实数相比不寻常的性质：

谜题74。证明如果\（X，\le）\）是具有有限连接的偏序集，我们有

[\bot\le x]

和

[x\vee x=x]

对于所有\（x\中的x\）。

类似地，如果\（X，\le）\）是一个有限满足的偏序集，我们有

[x\le\top]

和

[x\楔形x=x]

对于所有\（x\中的x\）。

这些特殊属性表示信息可以以某些特殊的方式“删除”和“复制”，而这些方式对其他资源不起作用。例如，\（x\wedge x=x\）表示知道\（x\）和\（x）与知道（x）完全相同。这与这样一个事实有关：我们可以获取一段数据，比如音乐文件中的信息位，然后将其复制。另一方面，我们通常无法复制货币：这不是真的（\$10+\$10=\$10\）。但这导致了信息时代的大问题，在信息时代，越来越多的好东西被简化为数据。如果你卖给的人可以免费复制一个音乐文件，你怎么能以每本10美元的价格卖出两份？

“删除”也有一些问题，但这些问题有点微妙，所以我将推迟到以后再讨论。

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