第17讲-大综合

在本章中，我们学习了左右伴随词，以及连接和相遇。起初，它们似乎是两对截然不同的概念。但后来我们了解到他们之间的一些深层次的关系。简单地说：

左伴随保留连接，保持足够连接的单调函数是左伴随。
右伴随保留满足，而保持足够满足的单调函数是右伴随。

今天，我们将用另外两个炸弹来结束对第1章的讨论：

连接是左邻接，并相遇是右边的伴随词。
左伴随词是指从上到下的右伴随词和连接词都是倒立的。

这是范畴理论如何运作的一个很好的例子。你学到了一堆概念，但随后你学到了越来越多与它们相关的事实，这些事实统一了你的理解。。。直到最后，所有这些概念都像一颗巨星的核心一样坍塌，释放出一颗超新星，改变了你对世界的看法！

让我先回顾一下我们已经看到的内容。为了简单起见，让我仅针对偏序集而不是更一般的预序来陈述这些事实。一切都可以概括为预定。

在第六讲我们看到，给定一个左伴随（f:a\to B\），我们可以使用连接计算它的右伴随：

[g（b）=\bigvee\{a\在a:\；f（a）\le b\}中。]

类似地，给定偏序集之间的右伴随（g:B\ to a\），我们可以使用满足计算其左伴随：

[f（a）=\bigwedge\{b\in b:\；a\le g（b）\}.]

在第16讲我们看到，左邻接词保留所有连接，而右邻接词则保留所有连接。

然后是一个大惊喜：如果\（A\）有所有连接，而单调函数\（f:A\到B\）保留了所有连接，那么\（f\）是一个左伴随！但是如果你检查证据，你会发现我们并不需要全部的连接：此公式中的所有连接都存在就足够了：

[g（b）=\bigvee\{a\在a:\；f（a）\le b\}中。]

类似地，如果\（B\）具有所有满足，并且单调函数\（g:B\ to a\）保持所有满足，则\（f\）是右伴随！但是，我们不需要（B）全部的满足：此公式中的所有满足都存在就足够了：

[f（a）=\bigwedge\{b\in b:\；a\le g（b）\}.]

现在来看今天的第一个大爆炸：连接是左伴随词，而相遇是右伴随词。我将为二进制联接和满足说明这一点，但它是泛化的。

假设\（A\）是一个包含所有二进制连接的偏序集。然后我们得到一个函数

[\vee:A\乘以A\到A]

将a中的任何对\（a，a'）\发送到联接\（a\vee a'\）。但我们可以将\（A\乘以A\）变成一个偏序集，如下所示：

[（a，b）\le（a'，b'）\textrm{当且仅当}a\le a'\textrm{和}b\le b']

然后，\（\vee:A\次A\到A\）变成单调映射，因为您可以检查

[a\lea'\textrm{和}b\leb'\textrm{表示}a\veeb\lea'\veeb'。]

你可以证明\（\vee:A\乘以A\到A\）是另一个单调函数的左伴随对角线的

[\delta:A\到A\乘以A]

将任何\（a\中的\）发送到对\（（a，a）\）。

对角线函数也称为复制因为它复制了\（A\）的任何元素。

为什么\（\ vee \）是\（\ Delta \）的左伴随词？如果你用所有的定义来解释这意味着什么，那么这就是事实：

[a\vee a'\le b\textrm{当且仅当}a\leb\textrm{和}a'\leb。]

请注意，我们将\（\vee\）应用于此处左侧表达式中的\（（a，a'）\），并将\（\Delta\）应用于右侧表达式中的\（b\）。所以，这个事实表明\（vee）是\（Delta）的左伴随。

谜题45。证明\（a \le a’\）和\（b \le b’\）暗示\（a \ vee b \le a‘\ le b’）。还证明了当且仅当。

一个类似的论点表明连接实际上是正确的伴随词！如果\（A\）是一个所有二元满足的偏序集，我们得到一个单调函数

[\vee:A\到A\乘以A]

这就是正确的\（\Delta\）的伴随词。这只是一种巧妙的表达方式

[a\le b\textrm{或}a\le b'\textrm{当且仅当}a\le b\楔形b']

这也很容易检查。

难题46。陈述并证明偏序集中任意数量元素（可能是无限数量）的连接和满足的类似事实。

所有这些都很漂亮，但你会注意到所有的事实都是成对出现的：一个用于左伴随词，一个用于右伴随词。我们可以通过注意到每个预订单都有一个“相反”的位置来消除这种冗余，即“大于”和“小于”交易位置！这就像一个镜子世界，上有下，大有小，真有假，等等。

定义。给定一个preorder（（a，\le）），有一个名为its的preorder相反的，\（（A，\ge）\）。在这里，我们通过定义\（\ ge \）

[a\ge a'\textrm{当且仅当}a'\le a]

对于所有\（a，a\中的a'\）。我们简称相反的preorder（A^{\textrm{op}}）。

我不敢相信我走了这么远竟然没有提到\（\ ge \）。现在我们终于有了很好的理由。

谜题47。证明前序的对立面确实是前序，偏序集的对立面是偏序集。

拼图48。再次证明\（A\）反义词的反义词是\（A~）。

谜题49。证明\（A\）的任何子集的联接（如果存在）是\（A^{\textrm{op}\）中该子集的集合。

拼图50。证明任何单调函数（f:A\到B\）都给出一个单调函数（f：A^{\textrm{op}}\到B^{\ttextrm{op{}}\）：相同的函数，但保留\（\ge\）而不是\（\le\）。

谜题51。证明\（f:A\ to B\）是\（g:B\ to A\）的左伴随当且仅当\（f:A^｛\textrm｛op｝｝\ to B^｛\textrm｛op｝｝｝\）是\（g:B^｛\textrm｛op｝｝｝\ to A^｛\textrm｛op｝｝｝\）的右伴随。

所以，到目前为止，我们已经学习了整个课程，并将其“对折”，将关于相遇的每个事实都简化为关于连接的事实，而关于右伴随的每个事实也都简化为有关左伴随的事实。。。反之亦然！这个在范畴理论中非常重要的观点被称为二元性在最简单的形式中，它表示事物来自相反的对，并且有一种对称性可以切换这些相反的对。走到极端，它说一切都是建立在对立面之间的相互作用之上的。

一旦你开始寻找，你可以从中国古代哲学中发现到处都是二元性：

到现代计算机：

但二元性在范畴理论中得到了非常深入的研究：我只是略过了表面。

这是我关于第一章的讲座的结尾。本章中还有更多我们没有涵盖的内容，所以现在是我们完成所有练习的时候了。

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