第16讲-偏序集的伴随函子定理

第16讲-姿态的伴随函子定理

今天，我将证明本课程中第一个真正深刻的结果：偏序集的伴随函数定理。它在左伴随词和连接词之间以及右伴随词和相遇词之间建立了深刻的联系。这是第一章的高潮：如果你在这场讲座中幸存下来，最后一场将是下坡！

上一次我展示了左伴随词保留联接和右伴随词保留接合-但我只考虑了“二进制”接合和联接：即一对元素的。我们可以做得更好。

记住，给定偏序集（a）的任何子集（S），我们称之为参加of \（S\）是\（S~）的最小上界（如果存在）。我们用\（\bigvee S\）表示这个连接，但不要被符号愚弄，以为它总是存在的。类似地满足或\（S\subsetq A\）的最大下界用\（\bigwedge S\）-表示（如果存在）。

现在来看两个定理。我建议你阅读这两个定理的陈述，并在阅读证明之前仔细考虑一下。最终，陈述比证明更重要，所以如果你发现证明很棘手，不要泄气！

定理。如果单调函数\（f:a\到B\）是左伴随，则只要存在连接，它就保持连接。也就是说，只要集合\（S\subseteqA\）有连接，我们就有

[f（\bigvee S）=\bigvee\｛f（a）：\；a\在S\｝中。]

类似地，如果偏序集之间的单调函数（g:B\到a\）是右伴随，则只要它们存在，它就保持满足。也就是说，每当集合（S\subsetq B\）有一个集合时，我们就有一个

[g（\bigwedge S）=\bigwidge\{g（b）：\；b\在S\}中。]

证明。我们只会证明上半场，因为下半场也是这样。我们假设\（f:A\ to B\）是一个左伴随词，意思是有一个右伴随词（g:B\到a\），我们将证明，只要存在连接，（f\）就保持连接。这与第15课的证明非常相似，但我会再次讨论这个论点，因为它非常重要。这次我会快一点！

假设\（S\subseteq A\）有一个连接\（j=\bigvee S\）。这意味着对于所有的（S中的a），所以（f（a），f（j），所以是S中的上界。我们只需要证明最少的这个集合的上界。因此，假设（b\中的b\）是该集合的任何其他上界。这意味着

[f（a）\le b]

（S中的a），但由于伴随词的魔力，它给出了

【a \ le g（b）】

对于所有\（S\中的a\），so\（g（b）\）是\（S~）的上界。因为\（j\）是最少的我们得出的上限

[j \le g（b），]

但多亏了邻接的魔力

[f（j）\le b]

所以\（f（j）\）确实是最少的\（\｛f（a）：\；S\｝\中的a\）的上界\（\qquad\blacksquare\）

好吧，那很有趣。但现在真正令人兴奋的部分来了：一种逆向也是真的！当我们有很多连接或会议可用时，最容易声明。我们说偏序集具有所有联接如果每个子集都有一个联接，同样对于meets：

偏序集的伴随函子定理。假设\（A\）是一个具有所有连接的偏序集，\（B\）是任何偏序集。那么单调映射（f:a\到B\）是左伴随，当且仅当它保留所有连接。

类似地，假设\（B）是一个所有满足的偏序集，\（a）是任何偏序集。那么单调映射（g:B\到a\）是右伴随，当且仅当它保留所有满足。

证明。再一次，我们只会证明上半场。因此，我们假设\（A\）是一个具有所有联接的偏序集，\（B\）是任何偏序集，\（f:A\ to B\）是单调映射。

前面的定理向我们保证，如果（f）是一个左伴随，它将保留所有的连接，因此我们只需要证明逆命题。

假设\（f）保留所有联接。为了证明它是左伴随，我们使用第六讲:

[g（b）=\bigvee\{a\在a:\；f（a）\le b\}中。]

由于\（A\）具有所有联接，所以\（g（b）\）定义良好。要知道\（g）是单调的，请注意如果\（b\le b'\）那么

[{a:\；f（a）\le b\}\substeq\{a\ in a:\，f（a，le b'\}]

所以

[g（b）=\bigvee\{a\ in a:\；f（a）\le b\}\le\bigvese\{a \ in a:\；f[a）\leb'\}=g（b'）.]

看看为什么？

接下来，我们证明了\（f\）是\（g\）的左伴随：

[f（a_0）\le b_0\textrm{当且仅当}a_0\le g（b_0）]

对于所有\（a中的a_0，b中的b_0）。

要显示这一点，首先假设\（f（a_0）\le b_0\）。那么\（a_0\）是\（a:f（a）\leb_0\}\中的\{a\）的元素，所以

[a_0\le\bigvee\{a\在a:f（a）\leb_0\}=g（b_0）中]

根据\（g\）的定义。因此，我们根据需要得到了\（a_0\le g（b_0）\）。

相反，假设\（a_0\le g（b_0）\）。然后是\（f（a_0））\ le f（g（b_0）。为此，请注意：

[f（g（b_0））=f（a:\；f（a）\leb_0\}中的\bigvee\{a\}）=\在B:\；f（a）\le B_0\}）\le B _0]

其中，在中间步骤中，我们最终使用\（f\）保留联接这一事实。因此，我们已经按预期设置了\（a_0\leg（b_0）\）-我们完成了\（\qquad\blacksquare\）

所以连接词和左伴随词之间，或者相遇词和右伴随词之间的联系非常紧密。下次，在我关于第一章的最后一节课上，我会再解释一下。