得分最高的“望远镜系列”问题-数学堆栈交换

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如何证明：$\tan（3\pi/11）+4\sin（2\pi/1l）=\sqrt{11}$

我们如何证明下列三角恒等式？$$\displaystyle\tan（3\pi/11）+4\sin（2\pi/1l）=\sqrt{11}$$

帕里克

467

问2010年11月21日17:28

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涉及斐波那契数列：$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{F_kF_{k+1}}$

我将从一些我认为对潜在回答者有帮助的信息开始我的问题。如果你不想读它，跳到问题。背景：我正在调查系列。。。

富兰克林·佩祖蒂·戴尔

40.1公里

问2017年12月25日22:56

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将整数写入尽可能少的$\{\frac21、\frac32、\frac43、\frac54、\ldots\}$元素的乘积

这个问题的灵感来自2018年欧洲女子数学奥林匹克竞赛的问题2。也发布在mathoverflow上。任何整数$x\ge 2$都可以写成…的乘积（不一定是不同的）。。。

用户133281

16.2万

问2018年4月11日19:15

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求和$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}}{\sqlt{2}+\scrt{3}}+…+\压裂｛1｝｛\sqrt｛99｝+\sqrt｛100｝｝$[重复]

我想检查一下我有正确的求和$$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac}{\sqlt{2}+\scrt{3}}+…+\压裂{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$$提示：将分母合理化为。。。

米科扬

1,173

问2013年8月10日11:10

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具有自然对数的级数之和：$\sum_{n=1}^\infty\ln\left（\frac{n（n+2）}{（n+1）^2}\right）$[重复]

计算级数之和：$$\sum_{n=1}^\infty\ln\left（\frac{n（n+2）}{（n+1）^2}\right）$$我试着扩展这个对数，但我没有看到任何用于这个练习的方法。

亚斯

283

问2017年1月4日11:44

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证明$\sum_{n=1}^{99}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt}n}{2n+1}\lt\frac9{20}$

我发现了别人最初提出的问题，要求仅使用“九年级数学”来证明这一点，这是一幅图像：可以这样写$$\sum_{n=1}^{99}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt}{n}{。。。

打字

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问2021年11月8日14:23

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提出$1+2+3+\cdots+n=\frac{n（n+1）}{2}的不同方法$

我正试图编制一份不同方法的清单，以得出标题中总和的闭合形式。到目前为止，我有一个著名的高斯故事，通过计算双子数进行论证，并使用。。。

伊泰·韦斯

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问2017年1月20日22:27

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三答案

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将自然数表示为三个不同自然数之和的方法的数量

证明将自然数$n$表示为三个不同自然数之和的方法的数量等于$$left[\frac{n^2-6n+12}{12}right]$$那是一年前我们的会议，但我。。。

迈克尔·罗森伯格

19.6万

问2020年7月25日4:27

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解决极限问题的替代方法

$$\lim{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+n^{2}}+frac{2}{2+n^}}+cdots+\frac{n}{n+n^[2}}$$我想找出我在书中找到的这个无限级数的极限。答案是1/2美元。这个。。。

批编码__s

215

问2022年2月18日14:51

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当$a_{n+1}:=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}时，$a_n$的极限何时存在$

考虑递归关系$a_｛n+1｝：=a_n+\cfrac｛a_n^2｝｛n^2｝$。$\lim_n a_n$的存在取决于初始值$a_1$。例如：如果$a_1=1$，则$a_n=n$，序列为。。。

紫菀

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问2017年10月14日6:28

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4公里意见

证明$\frac{1}{1\cdot3}+\frac}{3\cdot5}+\frac{1{5\cdot7}+\cdots$收敛到$\frac 12$

展示一下$$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}}{3\cdot5}+\frac{1{5\cdot7}+\cdots=\frac{1\{2}$$我不太确定该怎么办，这似乎与芝诺的悖论非常相似。如果系列。。。

杰克·汤普森

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问2012年7月31日23:16

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为什么$\sum_1^\infty\frac1{n^3}=\frac52\sum_1^\infty\frac{（-1）^{n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}$？

Apery的原始证据$$\zeta（3）\equiv\sum_1^\infty\frac1{n^3}$$无理数是从交替数列开始的$$\zeta（3）=\frac52\sum_1^\infty\frac{（-1）^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}$$ ...

马克·菲施勒

4.2万

问2017年6月21日21:07

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正在计算$\sum_{r=1}^{\infty}\cot^{-1}（ar^2+br+c）$

评估序列$$S=\sum_{r=1}^{\infty}\cot^{-1}（ar^2+br+c）$$我尝试了很多$（a，b，c）$的值，并将其插入Wolframalpha，它总是收敛的。我知道对于特定的值$a，b，。。。

V.G公司

4,206

问2021年1月10日18:36

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$\frac{1}{1\cdot2}+\frac}1}{2\cdot3}+\frac{1}}{3\cdot4}+\cdots+\frac}{n（n+1）}的公式是什么$

我怎样才能找到下面方程的公式？$$\frac{1}{1\cdot2}+\frac}1}{2\cdot3}+\frac{1}}{3\cdot4}+\cdots+\frac}{n（n+1）}$$更重要的是，您将如何找到。。。

查尔斯

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问2013年1月24日18:17

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归纳证明不等式的证明：$\frac1{（n+1）^2}+\frac1{n+1}<\frac1n$

在$\sum_｛k=1｝^n\frac｛1｝｛k^2｝\leq 2-\frac｛1｝｛n｝$（对于$n\geq 1$）的归纳证明中，我被要求证明不等式$\frac｛1｝｛（n+1）^2｝+\frac｛1｝｛n+1｝<\frac｛1｝｛n｝$。这是我的。。。

1123581321

1,102

问2019年6月20日1:14

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带标签的问题[望远镜系列]

如何证明：$\tan（3\pi/11）+4\sin（2\pi/1l）=\sqrt{11}$

涉及斐波那契数列：$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{F_kF_{k+1}}$

将整数写入尽可能少的$\{\frac21、\frac32、\frac43、\frac54、\ldots\}$元素的乘积

求和$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}}{\sqlt{2}+\scrt{3}}+…+\压裂｛1｝｛\sqrt｛99｝+\sqrt｛100｝｝$[重复]

具有自然对数的级数之和：$\sum_{n=1}^\infty\ln\left（\frac{n（n+2）}{（n+1）^2}\right）$[重复]

证明$\sum_{n=1}^{99}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt}n}{2n+1}\lt\frac9{20}$

提出$1+2+3+\cdots+n=\frac{n（n+1）}{2}的不同方法$

将自然数表示为三个不同自然数之和的方法的数量

解决极限问题的替代方法

当$a_{n+1}:=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}时，$a_n$的极限何时存在$

证明$\frac{1}{1\cdot3}+\frac}{3\cdot5}+\frac{1{5\cdot7}+\cdots$收敛到$\frac 12$

为什么$\sum_1^\infty\frac1{n^3}=\frac52\sum_1^\infty\frac{（-1）^{n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}$？

正在计算$\sum_{r=1}^{\infty}\cot^{-1}（ar^2+br+c）$

$\frac{1}{1\cdot2}+\frac}1}{2\cdot3}+\frac{1}}{3\cdot4}+\cdots+\frac}{n（n+1）}的公式是什么$

归纳证明不等式的证明：$\frac1{（n+1）^2}+\frac1{n+1}<\frac1n$

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