常见的“组合学”问题-数学堆栈交换

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计算$\sum_ia_ix_i\leqq n的有界整数解$

我想找出非负整数解的个数$$x_1+x_2+x_3+x_4=22$$这也是$4$类型中替换$22$项的组合数。如何应用星号和条形图。。。

部分腐烂的Pus堆

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问2014年8月27日11:31

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曲棍球棒/朱世杰身份证明$\sum\limits_{t=0}^n\binom tk=\binom{n+1}{k+1}$

阅读完这个问题后，最流行的答案是使用身份$$\sum_{t=0}^n\binom{t}{k}=\binom{n+1}{k+1}$$或者，什么是等价的，$$\sum_{t=k}^n\binom{t}{k}=\binom{n+1}{k+1}$$什么是。。。

hlapointe公司

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问2015年10月21日14:46

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三答案

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扩展的星形和三角形问题（变量的上限是有界的）

对于$i\in\{1,2，\ldots，n\}$，用整数$a_i\geq0$计算解$（a_1，a_2，\ldot，a_n）$的问题是$$a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n=n$$可以用星条旗来解决。...

尼亚兹·穆罕默德·汗

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问2013年11月6日6:10

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三答案

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我在理解Rencontres数的证明（Derangements）时遇到问题

我理解伦康特斯数的整个概念，但我不知道如何证明这个方程$$D_{n，0}=\left[\frac{n！}{e}\right]$$其中$[\cdot]$表示舍入函数（即$[x]$。。。

皮埃黑德

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问2011年11月18日14:15

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$\sum\limits_{k=0}^n｛n\choose k｝^2＝｛2n\schoose n｝求和的组合证明$

我希望找到一个更“数学”的证明，而不是从逻辑上证明$\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\choose k}^2={2n\choose n}$。我已经知道逻辑证明：$${n\choose k}^2={。。。

兰斯C

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问2012年5月23日4:52

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中心二项式系数卷积的恒等式：$\sum\limits_{k=0}^n\binom{2k}{k}\binom{2（n-k）}{n-k}=2^{2n}$

这并不难证明$$（1-z^2）^{-1/2}=\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}{n} 2个^{-2n}z^{2n}$$另一方面，我们有$（1-z^2）^{-1}=\sumz^{2n}$。对第一次幂级数求平方并进行比较。。。

刮痕

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问2011年5月9日6:09

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在飞机上就座

这是一个我今天和我的实验小组在午餐时讨论的小问题。虽然不是特别困难，但也有有趣的含义想象一下，有100人排队。。。

粗硬的

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问2010年9月27日20:15

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优惠券回收问题中的概率分布

我试图通过显式地找到概率分布来解决众所周知的优惠券收集者问题（到目前为止，我读到的所有方法都涉及使用某种技巧）。然而，我不是。。。

脊柱盛宴

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问2013年5月2日18:34

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3公里意见

$\binom{-n}{k}$是什么意思？

对于正整数$n$和$k$，$\binom{-n}{k}$的含义是什么？具体来说，对它有什么组合解释吗？编辑：我刚刚遇到丹尼尔·勒布，《Set with a。。。

雪球

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问2012年10月20日21:44

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三答案

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演示实现包容-排斥原则的另一种方法？

我正在尝试实现包含-排除原则，一般描述如下。。。$$\开始{align}\left|\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right|=+\左（\sum\limits_{i=1}^n|。。。

隐姓埋名

317

问2012年1月18日23:43

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包容——排斥原则；什么是$（-1）^{n+1}$

有人能确认一下，我对包容性排除的理解符合它的公式吗。对于一个3组的例子；我们添加3个并集，减去所有3个成对交集的总和，然后添加。。。

月球上的人类

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问2022年4月14日13:34

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证明帕斯卡规则：当$1\leqr\leqn时，${{n}\choose{r}}={{n-1}\chooke{r-1}}+{{n-1'\choose r}$$

我试图证明当$1\leqr\leqn$时，${n\chooser}$等于${n-1}\choose{r-1}}+{{n-1neneneep \choose r}$。我想我可以在概率中使用计数规则，也许组合=${n}。。。

用户6639

问2011年2月4日23:19

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如何证明Vandermonde的身份：$\sum_｛k=0｝^｛n｝\binom｛R｝｛k｝\binom｛M｝｛n-k｝=\binom｛R+M｝｛n｝$？

我们如何证明$$\sum_{k=0}^{n}\binom{R}{k}\binom{M}{n-k}=\binom}R+M}{n}$$（假设）来源：理论练习8，第一章，概率第一课，谢尔登·罗斯第八版。

Roiner Segura Cubero公司

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问2013年3月22日14:36

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具有不同上限范围限制的不同大小方程的解的数量[重复]

鉴于：$x_1+x_2+…+x_n=k$其中每个$x_i$可以有一些介于$0$和$10$之间的值（我们可能有$0\leq x_1\leq 7$，我们可能有$0\leqx_2\leq 9$，依此类推…）有多少非负。。。

tmp问题查询器7777272

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问2021年10月5日19:56

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30公里意见

$n$Bernoulli试验中最长运行时间的概率

假设有偏向的硬币（头部概率为$p$）被翻转$n$次。我想找出最长的头部长度，比如$\ell_n$，超过给定数字$m$的概率。。。

萨沙

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问2011年8月25日16:58

堆栈交换网络

标有[组合学]的问题

计算$\sum_ia_ix_i\leqq n的有界整数解$

曲棍球棒/朱世杰身份证明$\sum\limits_{t=0}^n\binom tk=\binom{n+1}{k+1}$

扩展的星形和三角形问题（变量的上限是有界的）

我在理解Rencontres数的证明（Derangements）时遇到问题

$\sum\limits_{k=0}^n｛n\choose k｝^2＝｛2n\schoose n｝求和的组合证明$

中心二项式系数卷积的恒等式：$\sum\limits_{k=0}^n\binom{2k}{k}\binom{2（n-k）}{n-k}=2^{2n}$

在飞机上就座

优惠券回收问题中的概率分布

$\binom{-n}{k}$是什么意思？

演示实现包容-排斥原则的另一种方法？

包容——排斥原则；什么是$（-1）^{n+1}$

证明帕斯卡规则：当$1\leqr\leqn时，${{n}\choose{r}}={{n-1}\chooke{r-1}}+{{n-1'\choose r}$$

如何证明Vandermonde的身份：$\sum_｛k=0｝^｛n｝\binom｛R｝｛k｝\binom｛M｝｛n-k｝=\binom｛R+M｝｛n｝$？

具有不同上限范围限制的不同大小方程的解的数量[重复]

$n$Bernoulli试验中最长运行时间的概率

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标有[组合学]的问题

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