最新的“二项式效率”问题-数学堆栈交换

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$\binom{n}{k}=\frac{n\cdot（n-1）\cdot…\cdot（n-k+1）}{k！}$，其中$k<0$或$k>n$如何等于$0$？

我无法从数学上理解$\binom{n}{k}$如何与$k<0$或$k>n$相等。我不明白的部分是（当$k<0$时）$\frac{n！}{k！\cdot（n-k）！}$，但$k！$是。。。

本杰明·莱特利尔·拉佐

33

问9小时前

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证明$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\binom{n}{k{^{-1}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\ frac{1}{2^{n-k}}$

在玩弄最近的一个答案中给出的总和时，我注意到以下经验性似乎是正确的（通过Mathematica达到$n=100$）：$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\binom{n}{k{。。。

半古典的

16.4公里

问22小时前

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如何计算$\sum_{k=0}^{n}\binom{a+k}{a}x^k$[重复]

正如标题所提到的，我想计算一下\开始{方程式}\和{k=0}^{n}\binom{a+k}{a}x^k，\结束｛方程式｝其中$n$和$a$都是正整数，$x\在[0,1]$中。有一个明显的鞋面。。。

乔布斯亚当

233

问2天前

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为什么$x^{左（n-1右）}$的系数在$（x+1）\cdot（x+2）\cdop（x+3）\cd展开式中。。。\cdot（x+n）$是$\frac{n\left（n+1\right）}{2}$

所以今天我有一个关于二项式展开式和级数的讲座，我们的老师刚刚给了我们一个声明，在$（x+1）\cdot（x+2）\cdop（x+3）的展开式中，$x^{left（n-1\right）}$的系数。。。

3b1b瞄准器

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问6月18日7:20

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二项式系数乘积的差异评估

作为我项目的一部分，我被要求评估以下差异的积极性：$$\binom{l1+t-1}{l1}\binom}l2+m+t-1{l2+m}\sum_{j=0}^{t}\binom{t-j+m}{m}\binrom{j+l1}{j}\binom{j+l}{j{j}{j}-\...

王海木（Haimu Wang）

21

问6月18日4:04

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二项式定理：恒等式证明解释[闭合]

有人能解释一下定理4.3的证明吗。使用更简单的语言会有所帮助。谢谢

特拉维斯

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问6月16日18:30

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斯皮瓦克：证明$\sum_{k=1}^{n} k个^p$可以写成$\frac{n^{p+1}}{p+1}+An^p+Bn^{p-1}+Cn^{p2}……的形式$

我试图用完全归纳法证明这一点。。。$\sum{k=1}^{n} k个=\frac｛n^2｝｛2｝+\frac｛n｝｛2｝$作为基本情况。现在，假设上述属性对$\sum_{}^{}k、\sum_}^{{}k^2、…、，。。。，\sum_{}^{}k^p$。。。

爱德华·福尔斯

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问6月16日3:46

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斯皮瓦克练习，证明范德蒙德的身份$\sum_{k=0}^{l}\binom{n}{k}\binom{m}{l-k}=\binom}n+m}{l}$

证明这一点$$\sum_{k=0}^{l}\binom{n}{k}\binom{m}{l-k}=\binom}n+m}{l}$$提示：将二项式定理应用于$（1+x）^n（1+x）^m$证明：根据斯皮瓦克的建议，我们$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x个^k=（。。。

爱德华·福尔斯

115

问6月14日22:30

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选择非负整数$（m_1，m_2，m_3）$的有序三元组，使$m_1+m_2+m_3=n$。

定义$$A=\{（m_1，m_2，m_3）：m_1\geq 0，m_2\geq O，m_3\geq0，m_1+m_2+m_3=n\}$$假设$n\geq0$和$n，m_1，m_2，m_3\in\mathbb{Z}^+$，那么为什么会出现这种情况$$\转换A\。。。

小豪斯

934

问6月14日13:46

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尝试证明组合公式与嵌套求和的等价性

如果这是一个愚蠢的问题，我很抱歉，但我正试图进入数学领域并证明这一点，但我只有九年级，还没有找到任何关于这一点的来源：证明$${n\choose r}=\overbrace{\。。。

Joproblox Bardouha公司

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问6月14日12:27

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关于圆和二项式系数的问题[重复]

在圆C上，在C的圆周上画n个点。现在这个问题说，𝐶ₙ是和弦的数量（这样就没有三个和弦在任何一点相交），\8345'是和弦交点的数量。。。

莫克什·辛格·丹吉

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问6月13日8:59

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三答案

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$（1-x）^{n+a}\sum_{j=0}^\infty\binom{n+j-1}{j}\binom}n+j}{a}x^j=\sum_{j=0.}^a\binom｛n}{a-j}\biom{a-1}{j{x^j$

让$n$和$a$成为自然数。如何证明$x\在[0,1）$中的以下内容？$$（1-x）^{n+a}\sum_{j=0}^\infty\binom{n+j-1}{j}\binom}n+j}{a}x^j=\sum_{j=0.}^a\ binom{n}{a-j}\biom{a-1}{j{x^j$$...

第二次公开募股

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问6月12日6:48

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推导Papoulis和Pillai方程（3-66）

$$\mbox{标识是}\quadP_{2n+2}=P_{2_n}+{2n\选择n}P^{n+2}q^n-{2n \选择n+1}P^}n+1}q^{n+1}$$$\显示样式\mbox{where}\P_{2n}=\sum_{k=n+1}^{2n{2n\选择k}P^kq^{2n-k}\四元$。。。

波黑

31

问6月11日22:35

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复数空间中的$（1+z^2）w''-2w=0$

求方程$（1+z^2）w''-2w=0的线性无关解$在$0$点附近。尝试：找到微分方程的线性无关解：$（1+。。。

用户1333602

问6月11日21:29

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46 意见

数论，二项式系数可除性

设$p$是大于$3$的素数，$n$是正整数。假设$\nu_p（n）=r$。证明$\dbinom{np}{p}-n$可以被$p^{3+r}整除$问题在于：https://poti.impa.br/。。。

amkpm90型

352

问6月11日20:52

堆栈交换网络

标有[二项式效率]的问题

$\binom{n}{k}=\frac{n\cdot（n-1）\cdot…\cdot（n-k+1）}{k！}$，其中$k<0$或$k>n$如何等于$0$？

证明$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\binom{n}{k{^{-1}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\ frac{1}{2^{n-k}}$

如何计算$\sum_{k=0}^{n}\binom{a+k}{a}x^k$[重复]

为什么$x^{左（n-1右）}$的系数在$（x+1）\cdot（x+2）\cdop（x+3）\cd展开式中。。。\cdot（x+n）$是$\frac{n\left（n+1\right）}{2}$

二项式系数乘积的差异评估

二项式定理：恒等式证明解释[闭合]

斯皮瓦克：证明$\sum_{k=1}^{n} k个^p$可以写成$\frac{n^{p+1}}{p+1}+An^p+Bn^{p-1}+Cn^{p2}……的形式$

斯皮瓦克练习，证明范德蒙德的身份$\sum_{k=0}^{l}\binom{n}{k}\binom{m}{l-k}=\binom}n+m}{l}$

选择非负整数$（m_1，m_2，m_3）$的有序三元组，使$m_1+m_2+m_3=n$。

尝试证明组合公式与嵌套求和的等价性

关于圆和二项式系数的问题[重复]

$（1-x）^{n+a}\sum_{j=0}^\infty\binom{n+j-1}{j}\binom}n+j}{a}x^j=\sum_{j=0.}^a\binom｛n}{a-j}\biom{a-1}{j{x^j$

推导Papoulis和Pillai方程（3-66）

复数空间中的$（1+z^2）w''-2w=0$

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