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我想通过集成将$x^u$变成$\binom{m-u}{a-u}$

就像我们一样$$n！=\int_0^\输入e^{-t}t^n日期$$和$$\二进制{n}{k}^{-1}=（n+1）\int_0^1t^{n-k}（1-t）^kdt$$我想知道二项式系数$\binom{m-u}{a-u}$…的类似公式。。。。
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为什么$x^{左（n-1右）}$的系数在$（x+1）\cdot（x+2）\cdop（x+3）\cd展开式中。。。\cdot（x+n）$是$\frac{n\left（n+1\right）}{2}$

所以今天我有一个关于二项式展开式和级数的讲座，我们的老师刚刚给了我们一个声明，在$（x+1）\cdot（x+2）\cdop（x+3）的展开式中，$x^{left（n-1\right）}$的系数。。。
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$（1-x）^{n+a}\sum_{j=0}^\infty\binom{n+j-1}{j}\binom}n+j}{a}x^j=\sum_{j=0.}^a\binom｛n}{a-j}\biom{a-1}{j{x^j$

设$n$和$a$为自然数。如何证明$x\在[0,1）$中的以下内容？$$（1-x）^{n+a}\sum_{j=0}^\infty\binom{n+j-1}{j}\binom}n+j}{a}x^j=\sum_{j=0.}^a\ binom{n}{a-j}\biom{a-1}{j{x^j$$...
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利用$q$-二项式系数和生成函数证明Durfee平方分区的恒等式

使用Durfee方格证明$$\sum_{j=0}^n\left[\begin{array}{l}n个\\j个\结束{数组}\right]\frac{t^jq^{j^2}}{（1-tq）\cdots\left（1-tq^j\right）}=\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-tqq^i}。$$我的。。。
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计算具有给定数量的高阶位翻转的位串

背景信息钻头翻转给定一个位字符串，我们说当$0$变为$1$或$1$变为$0$时，会发生位翻转。要找到位翻转，我们可以将字符串移位$1$，然后对新字符串进行异或。。。
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求递归关系系统的封闭形式

我正在研究一个包含两个函数$a'$和$a''$的递归关系系统的问题。关系定义如下：$$\开始{align*}A'{n，k，m}&=A'{n-1，k-1，m}+。。。
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瓦列里·萨文琴科
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我发现这个恒等式在处理系数为$I（n）=\int_{0}^\pi\sin^n（x）dx$的生成函数时有用吗？

设$I（n）=\int_{0}^\pi\sin^n（x）dx$，使用$\sin^2（x）=1-\cos^2（x）$并按我们得到的部分进行积分。$$\开始｛align｝I（n）=\dfrac｛n-1｝｛n｝I（n-2）\结束｛align｝$$其中$I（0）=\pi$和$I（1）=2$。。。
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山姆
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证明$\displaystyle（r+1）\cdota_｛r+1｝=（n-r）\cdota_｛r｝+（2n+1-r）\cdota_｛r-1｝$

设$\displaystyle（1+x+x^2）^n=\sum_{i=0}^{2n}a_ix^i$。然后证明一下$\显示样式（r+1）\cdota{r+1}=（n-r）\cdot a{r}+（2n+1-r）\cdotea{r-1}$我尝试的内容：$\displaystyle（1+x+x^2）^n=\。。。
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杰基
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集合$S=\{（x，y，z）中的元素数是多少？

集合$S=\{（x，y，z）中的元素数是多少？我的解决方案：这等于$t^{42}$in的系数$（1+t+t^2+t^3+…+t^{43}）（1+t ^2+t ^4+…+t ^{。。。
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数学爱好者
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在下面的多项式$（1+x+x^2+x^3+x^4+x^6）^6中求$x^{30}$的系数$

我们如何在下面的多项式$（1+x+x^2+x^3+x^4+x^6）^6中找到$x^{30}$的系数$我的方法如下：$1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6=\压裂{1-x^7}{1-x}$$因此$$\开始{对齐}1+x+x^2+x^。。。
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萨马尔·伊玛姆·扎伊迪
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用不动点迭代求极点

$$\frac{1}{1-z+qp^kz^{k+1}}，\space（p+q=1\space\space p，q>0，\spacek:正\space整数\ge2）$$要找到除1/p以外的极点，我知道杆位在1到1/q之间。然后，通过。。。
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大卫·李
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在这个生成函数中，找到第$n$-项之前的系数的最有效方法是什么？

我正在使用Riordan数组理论计算Pascal矩阵的平方（即具有条目$A{nk}={n\choose k}$的无限下三角矩阵），并且已经获得（或者我相信）。。。
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大加库-巴库
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帕斯卡三角形二项式系数的指数母函数

以下指数生成函数是否存在任何闭合形式的公式：$$F_k（x）=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2（k+n）-1}{n} x个^n} {（k+n）！}$$分子中的系数。。。
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用户270610
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使用分析得出$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2$的值。

我正试图解决以下问题：通过推导$f（x）=x^n（1+x）^n$$n$次，确定$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2$的值。我试图用两种方式表达$f（x）$：$f（x）。。。
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塞什利
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交替曲棍球棍和$\sum_{m=k}^m（-1）^m\binom{m}{k}$

我想有效地计算以下总和$$S（k，M）=\sum_{M=k}^M（-1）^M\binom{M}{k}$$我尝试使用生成函数并编写$$S（k，M）=\sum_{M=k}^M[x^k]（-1-x）^M=[x^k]\。。。
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