$x\simy\iff x^2\equivy^2\pmod{\！6}$是一个等价关系。

Question

问题1：假设S$中的$x，y\为$x\simy$，如果$x^2=y^2\pmod6$。证明$\sim$是等价关系。

这就是我尝试过的：
反射：$x^2\pmod6=x^2$表示$x\sim x$
对称性：假设$x\sim-y$，然后$x^2=y^2\pmod6$
通过$x^2$的逆运算，两边都有$e=（x^2）^{-1}y^2\pmod6$
那么我有$y^2=x^2\pmod6$，因此是$y\sim x$
我想在这里得到一些更正，因为我对此不确定

问题2。求给定置换的轨道：$$v:\mathbb{Z}\to\mathbb2{Z}\quad\text{由}\quadv（n）=n+3定义$$

这是我的解决方案，我也想有人纠正我！
如果$b=a+3，则在$\mathbb{Z}$上通过$a\simb$定义关系$\sim$$
我认为$v$的轨道是$\mathbb{Z}$相对于$\sim$的类，由$\｛b\ mid b=a+3\｝$。因此，我只得到了三个轨道，分别是${1,4,7,10，…，3n-2\midn\in\mathbb{Z}$，${2,5,8，…，3d-1-midn\in \mathbb{Z}，和${3,6,9。

Answer 1

你对第一个关系对称性的论证是有缺陷的，因为你不知道$x$模$6$有一个逆函数（例如，如果$x^2\equiv0\pmod{6}$怎么办？）但是你不必：如果$x~2\equivy^2\pmod{6}$，那么$6|x^2-y^2$，因此$6|y^2-x^2$；那么$y^2\\equiv x^2\\pmod}$。

您仍然缺少及物性：如果$x^2\equivy^2\pmod{6}$和$y^2\\equivz^2\pmod{6{$，为什么必须$x^2\equiv z^2\\pmod{6}$？(提示。只需使用定义即可）。

Answer 2

提示 $ $更普遍地表明，如果$\rm\f\，：\，S\到T\$和$\rm\，\equiv\，\$是一个等价关系在$\rm\，T，\$ 然后 $\rm\\｛\：\！（x，y）\，：\，f（x）\equiv f（y）\：\！\｝\$是上的等价关系$\rm\，S.\$它被称为（等价）内核属于$\rm\，f，\$如果我们将余域视为商集$\rm\，T/\！\相等\，，\$上面哪个是$\rm\\mathbb Z/6，\$具有$\rm\f（x）=x^2\$

另请参见更一般的概念差分核和均衡器，看看这个前一个问题其中纤维提出了观点。

Answer 3

#1的提示。通过函数值相等定义的任何关系都是等价关系。更准确地说：

如果$f:X\到Y$，并且$\sim$由$X\simy$iff$f（X）=f（Y）$定义在$X$上，则$\sim$$是等价关系。

相反，每个等价关系都是这样产生的。