证明你不能从1、2、3、4美元中赚到2011美元：与往常相比，这是一个不错的转变

Question

一位本科生告诉我他发现了一个难题：他的想法是用数字$1、2、3、4、ldots、n$来计算$2011$，并遵循以下规则/约束：数字必须保持有序，并且只能使用$+$、$-$、$\次$、$/$、^和$！$。换句话说，“正负乘除、求幂和阶乘”。游戏是用尽可能小的$n$构建$2011$。

令我惊讶的是，他竟然做到了$n=5$：真的

$$((1+2)!)!+(3!)^4-5=2011.$$

他现在想通过证明$n=1,2,3,4$是不可能的来彻底解决这个难题。

所以这就是它变得有趣的地方。我的第一个想法是“计算机搜索——完成”。但这并没有那么容易，因为阶乘只是一个一元运算符。例如，必须排除在非常大的数字之间可能出现的任何令人惊讶的取消，例如，必须检查

$$(1+2)!!!!!!!!!!!!!-3^{（4$$

特别是这一点不难排除，因为，例如，左手边是$3$的倍数，右手边不是。一般来说，这种方法可能用于限制使用$1、2、3、，仅4美元——但要做到这一点似乎有点微妙，我想知道自己是否遗漏了什么。有什么想法吗？

编辑：罗恩·迈蒙（Ron Maimon）用暴力解决问题的英勇尝试使他得出了一个有趣的案例：$2011=（1+2）/（3！！！…！！！！/4*4!!!!...!!!/3!!!!...!!!$ 对于阶乘数的任何选择。

编辑：尺寸考虑似乎与上述情况有关。最终，我提出的问题似乎可以用一个相当长但有限的（！）过程来回答。感谢罗恩的努力。

Answer 1

虽然有很多情况，但这很简单，可以用手工完成。首先，处理n=1的情况，因为1是阶乘的不动点。情况n=2同样微不足道，因为2也是阶乘的不动点，而2011不是阶乘。

稍后我将回到n=3，首先我将讨论n=4的问题。

二进制操作形成了一个解析树，因此您执行的二进制操作提供了一个骨架，您可以在此基础上添加阶乘。4个节点上正好有5个二叉树，我在下面列出：

• 配对：（（12）（34））
• 转发：（（12）3）4）
• 向后：（1（2（34））
• 左中：（（1（23））4）
• 中-右：（1（（23）4））

这五个父对象化定义了对叶1、2、3、4应用二进制运算的五种方法。阶乘可以出现在三叶上，产生6720等，也可以出现在四叶上，产生24等，或者出现在三个带括号的中间量之一上。

不能对顶级节点应用阶乘，因为2011不是阶乘。对于每种情况，每棵树上正好有四个节点可以应用阶乘——在3、4和两个中间节点上。

三个量不能做到这一点

为了处理n=4，必须有条理地处理n=3。在这种情况下，只有两种不同的父母身份

• 左：（1（23））
• 右：（（12）3）

只有在3和内括号的值上才允许使用阶乘。外部数量不能得到阶乘，因为2011年不是阶乘。

现在注意：涉及1的运算是+、-、*、/、^。最后一个操作产生1，将问题大小减为二进制，除法操作产生无意义的结果，*操作符只删除1节点。因此，唯一的可能性是+/-（EDIT：如果您将域扩展为有理数，那么您可以在中间阶段生成1/（2*3！！！），会有许多新的情况）

这意味着，答案2011要么是从左边产生的，在这种情况下，2010是用（23）写的，要么是从右边产生的，而在这种情况中，2011是用（33）写的。这两个都是二进制的，几乎不可能。

这样可以处理n=3

四个数量大部分减少到三个

同样，当考虑涉及1的二进制运算时，四个量减少到3。如果此操作不是+或-，则必须终止节点（EDIT：排除有理数操作），从而将树减少为3、2或1对象。

剩下的可能性是1与数量相加。这会产生以下三个数量问题：

• （（3 3）4）2011年
• （3（34））制造2011
• （2（34））制造2010或2011
• （（2 3）4）2010年或2011年制造

正好是一个真正的四量问题* ((1 + (23)) 4)

真正的四量问题有15个可能的运算组合和4个放置阶乘的位置。我将首先免除三箱货。

2 3 4或3 3 4无法进入2011年

2011年排名第一的节点不可能是^，因为2011年不是一种力量。不可能，因为2011年是黄金时段。这将留下+、-、/。我将把A_n称为n次阶乘迭代：

• （3_n+3_m）_k+4_l
• （3_m-3_n）_k+4_l
• （3_m*3_n）_k+4_l
• （3_m/3_n）_k+4_l

• （3_m^3_n）_k+4_l

• （3n+3m）k-4l

• （3_m-3_n）_k-4_l
• （3_m*3_n）_k-4_l
• （3_m/3_n）_k-4_l
• （3_m^3_n）_k-4_l

对于k>0，由于平价原因，不能是2011年。对于k=0，乘积/商被排除在外是因为奇偶性的原因（因为3_m和3_n从来没有相差1，它们的商总是偶数或等于1---1被排除在外是因为2010不是4的迭代阶乘，求幂的情况被排除在外是因为l＞0时被3整除，并且2015和2007不是l＝0的幂）。这个离开

• 3n+3m-4l
• 3_n-3_m+4_l
• 3_n-3_m-4_l

（大小边界和有限搜索排除了全加情况）。n，m都不可能大于1，否则总和是偶数。所以n或m中的一个正好是1。然后，对于l>1n>1，降低模6得到3，2011是1模6。

第一个3替换为2的情况处理完全相同。

• （3_n+3_m）_k/4_l
• （3_m-3_n）_k/4_l
• （3_m*3_n）_k/4_l
• （3_m/3_n）_k/4_l
• （3_m^3_n）_k/4_l

由于素数的原因，如果k>0，这不可能是2011年（2011年不是除2011！/2010！之外的两个阶乘的比率，并且（33）不等于8044）。这就留下了k=0的情况：

编辑：我也跳过了这些重要的案例。

• （3n+3m）=2011年4l
• （3_m-3_n）=2011年4_l
• （3_m*3_n）=2011 4_l：未解决
• 3_m=2011 4_l 3_l
• （3_m^3_n）=2011年4_l

案例A！=2011年B！C！在下一节中解决，这需要考虑3_m=20114_l3_l。通过注意右侧阶乘必须足够大，才能包含新素数来解决情况3_m^3^n。A！+B！=2011年C！需要A>C和B>C以及WLOG A>B，因此，除法得到C（C+1）。。。（C+（A-C））+C（C+1）。。（C+（B-C））=2011，这要求素数C=B或C=B-1，但3_k和4_m永远不能完全等于阶乘的一，它们不能相差1，除非m=0k=0，因为它们总是偶数。

案例3_m*3_n=2011 4_l尚未解决，与下面的其他未解决案例类似。

接下来是（3（34））。在这种情况下，顶级节点也不能是*或^，因为2011不是电源或产品。

编辑：更多（3（34））

所以还有另外15个案例（之前，我写下了它们，但没有解决。）

• 3_l+（3_m+4_n）_p：

paren的内侧至少是7,7！是5040，太大了，所以p=0。除非l或m中有一个恰好为零，否则3_l+3_m的量是偶数，所以有3+3_m+4_n，这是2011年的有限搜索。

• 3_l+（3_m-4_n）_p

paren的内部不能为负，如果为正，m必须至少为1，以便第二项为偶数。这意味着第一项必须是奇数，所以l=0。这使得3+（3_m-4_n）_p=2011，而2008不是阶乘，因此p=0。所以你希望3_m和4_n的差值是2008年，如果n>0，这是不可能的，因为2008不是0 mod 3。所以2004年必须达到3米，这是不可能的。

• 3_l+（3_m*4_n）_p

2011年是1个mod 3，而这是0个mod 3。

• 3_l+（3_m/4_n）_p

这里出现了如何解释商的问题——我将把它解释为整数部分。所以paren的内部参数可以是0或1（3/4和6/4），这使得2010年或2011年的3l是不可能的。因此paren的内部不是0或1。两个大于2的阶乘之比本身就是一个整数，所以你可以得到两个阶乘之和，这是偶数，除非l=0或p=0。

如果l=0，你有一个阶乘，它给出2008，因为2008不是阶乘，所以它给出p=0，而2008是阶乘的比率，这是不可能的，因为它没有计入连续数的乘积。

这使得p=0，l非零。（3l-2011）*4n+3m=0，根据符号要求3l<2011，因此l为1,2,3。这是两种情况：

• （2011年6月）*4_n+3_m=0
• （720-2011）*4_n+3_m=0

这两个方程都是不可能的，因为非平凡系数2005和291不能是两个阶乘的比值，因为它们都不是连续数的乘积。

• 3_l+（3_m^4_n）_p

这是零mod 3，而2011不是。

• 3_l-（3_m+4_n）_p

这是零模3，除非n=0和p=0。3l-3m+4=2011，这意味着3的两个迭代阶乘之差需要是2007，这是奇数，因此这是不可能的。

• 3_l-（3_m-4_n）_p

这是零模3，除非n=0和p=0，3_l-3_m-4=2011，所以3的两个迭代阶乘的差需要是2015，而不是零模3。

• 3_l-（3_m*4_n）_ p

与2011年不同，该数量为0 mod 3。

• 3_l-（3_m/4_n）_p

除非p=0、l=0或括号中的量为1，否则这两个量都是偶数。l=0被排除在外，因为结果小于3，如果parens中的数量是1，那么3_l必须是2010，这是不可能的。所以这需要p=0，这就是丢番图方程

• 3_m=（3_l-2011）4_n

在这种情况下，3_l必须大于2011，因此l>2。3_m/4_n是两个阶乘的比值，因此它变为

（A！/（B！（A-B）！）*（A-B）！=（2011年第3季度）

在任何非平凡的情况下，左边是偶数，右边是奇数，以奇数排除这一点。

• 3_l-（3_m^4^n）_p

这是零mod 3，所以不是2011。

• 3_l/（3_m+4_n）_p
• 3_l/（3_m-4_n）_p
• 3_l/（3_m*4_n）_p
• 3_l/（3_m/4_n）_p
• 3_l/（3_m^4_n）_p

两个非平凡阶乘的商总是连续数的乘积，所以它不可能是2011，除非顶部是2011！底部是2010年！。3l永远不是2011年。你可以得出l=0或p=0的结论。l=0是不可能的，因为结果会小于3，所以p=0适用于上述所有情况。这给出了以下4个丢番图方程

• 3l=2011年*（3m+4n）
• 3_l=2011年*（3_m-4_n）
• 3_l=2011年*（3_m*4_n）
• 3_l=2011年*（3_m^4_n）
• 3l=2011年*（3月/4月）

对于前四个案例，我必须大于3，因为3=720! 没有2011年的因素。所以这些都是大的非平凡因子。

考虑一种更通用的求和方程，即上面的第一种情况下的方程：

• A！=2011（B！+C！）

在不损失一般性的情况下，A>B>C，所以除以C！给出A/C！=2011（B！/C！+1），其中数量A/C！和B/C！是连续整数的乘积，其中至少有一个是偶数，因为A不等于B，除非B=C+1，否则两者都是偶数。所以B=C+1，你就得到了A/C！=2011（C+1）或A=2011（C+1）！这是不可能的，因为2011年不是连续整数的乘积。同样的事情也排除了减号情况。

• A！=2011年B！C！

同样，WLOG，B>C，这可以重写：

• （A！/B！（A-B）！）（A-B）/C！（A-B-C）！）（A-B-C）！=2011

其中所有内容都是用乘法的更基本的二项式系数表示的。这要求每个因子要么是1，要么是2011，这需要A=B+C或A=B+C+1，因为在任何情况下，最后一个因子都不能等于2011。在这两种情况下，两个组合系数变成一个，结果是C=1或0，B=2010，而A=2011，得到了2011的两个平凡解！=2011 * 2010! 1! 和2011！=2011 2010! 0!, 没有其他解决方案（这些琐碎的解决方案不起作用，它们没有一个C>4）。完成。

• A！=2011年B^C！

其中C>4。因为C>4，而对于B大于2，（B！）^4>（2B）！（使用斯特林公式很容易证明），你可以得出结论A>2B，所以在B和2B之间有一个新的素数，它包含在A中！其未包含在右侧。这在C为3时也适用，因此它解决了上面（33）4的并行情况。

最后要考虑的情况是商的商，它重新排列为

• 3_l*4_n=2011*3_m

这里，要么l大于3，要么n大于2，这样左边的两个对象中的一个的因子就等于2011，所以这些又是大阶乘。一般形式

• A！B！=2011年C！

对于大型A、B和C，WLOG A

• 2011（A+B）/A！B！）=（A+B）（A+B-1）。。（A+B-y+1）

在这个公式中，A和C都是3的阶乘迭代，而B是4的阶乘循环。这意味着C要么等于A（不起作用），要么大大大于A，至少是A！。要使左右两侧的大小相等，B必须与C的大小大致相同。

LHS是B^A/A！，而右手边是B^y，所以为了匹配，A和y必须具有相同的顺序。

现在右手边可以被y整除！，而左手边不能被A！这样大的东西整除！。这是帕斯卡三角形的一个性质，即（a+B）/A！B！）不可分割再一次由A！。原因是简单的素数计算：

N中2的幂！是N/2+N/4+N/8+N/16…+N/（2^（log_2（N））），其中除法表示楼层除法。这对N是渐近的，这意味着当A+B=C时，分子和分母之间的2次幂正好抵消。如果你想要y！要将其计入Pascal三角形的结果元素中，您需要C！中2的额外幂！，大约等于2A+B的量。（C！）中不应该有这么多2的幂。同样适用于3的幂或任何小于A的其他素数。

因此，仅仅基于素数幂计数来满足方程应该是不可能的，但这个论点并不能证明这一点，因为B与A相比是如此巨大，（（A+B）的两个估计幂的误差！）比A大得多，但Pascal三角形中有一些奇怪的项，特别是在左边边缘附近，所以Pascal三角中出现的素数幂的界一定比我给出的好。我相信是的！无法进入大y的Pascal三角形条目，但我无法给出可靠的论点。因此，我暂时不解决这个问题。

我感到惊讶的是，这种情况比其他情况要困难得多，因为很明显，纯粹的乘法运算是行不通的，你需要加法运算。

无论如何：未解决。但如果精确的话，上面的草图可能会解决这个问题。

EDIT（2（34））没有进入2011年（为了完整起见）

我忘了算出2011年的2（34）个案例。顶级节点不能是*或^，因为2011不是prime或power，也不能是-或/，因为2011大于2。

• 2+（3米+4米）_p
• 2+（3_m-4_n）_p
• 2+（3_m*4_n）_p
• 2+（3_m/4_n）_ p
• 2+（3_m^4_n）_p

p> 0被排除在外，因为2009不是阶乘。由于奇偶校验，3_m+4_n，3_m-4_n不适用于m>0，所以m=0，依此类推。电源案例3_m^4_n被排除在外，因为2009年不是电源。（3_m*4_n）是0 mod 3，而2009不是，因此唯一的情况是3_m=2009 4_m，其形式为

• A！=2009年B！

或（A！/B！（A-B）！）（A-B）！=2009，当你得到平凡解2009时，除非A=B+1，否则按奇偶校验排除！=2009*2008!, 这与3和4的迭代阶乘不匹配。

为了允许分数，我将考虑唯一合理的除法过程

• 2/（3_m/4_m）=2*4_m/3_m=2011

当分子大于分母，即2（A！/（B！（A-B）！）时，这是一个偶数（A-B）！，因此被排除在外。

2 3 4不代表2010年

现在2010=2*3*5*67。分解为（23）4只能得到3和4的阶乘。

• （2+3米）_n+4磅
• （2-3m）n+4p
• （2*3m）n+4p
• （2/3米）n+4p

• （2^3米）_n+4_p

• （2+3米）n-4磅

• （2-3m）n-4p
• （2*3米）_n-4_p
• （2/3m）n-4p
• （2^3_m）_n-4_p

对于这些情况，只需注意2010不能被4整除，因此n=0或n=1，或者阶乘的参数是1，而一个冗长的枚举就可以穷尽这些。

• （2+3米）_n*4磅
• （2-3_米）_n*4_p
• （2*3米）_n*4磅
• （2/3米）n*4磅
• （2^3_m）_n*4_p

2010年不能被4整除，所以这些都被排除在外。

• （2+3_m）_n/4_p
• （2-3m）n/4p
• （2*3m）n/4p
• （2/3m）n/4p
• （2^3米）_n/4_p

这些给出了2010年4^p=（2*3_n）_m的关系。从模7和67来看，这个方程不适用于任何m，n。

• （2+3_m）_n^4_p
• （2-3_米）_n^4_p
• （2*3m）_n^4_p
• （2/3米）_n^4_p
• （2^3_m）_n^4_p

2010年不是一股力量。

（（1+（23））4）不代表2011年

共有15种情况，因为顶部节点不能按素数*，也不能^，因为2011年不是幂：

• （1+（2+3_l）_m）_n+4_p
• （1+（2-3l）m）n+4p
• （1+（2*3_l）_m）_n+4_p
• （1+（2/3l）m）n+4p

• （1+（2^3_l）_m）_n+4_p

• （1+（2+3_l）_m）_n-4_p

• （1+（2-3_l）_m）_n-4_p
• （1+（2*3_l）_m）_n-4_p
• （1+（2/3l）m）n-4p
• （1+（2^3_l）_m）_n-4_p

n=0（奇偶校验）。这通过结合性将问题减少到2010年的2,3,4。

• （1+（2+3_l）_m）_n/4_p
• （1+（2-3l）m）n/4p
• （1+（2*3_l）_m）_n/4_p
• （1+（2/3l）m）n/4p
• （1+（2^3_l）_m）_n/4_p

这些是唯一真正的新病例。在本例中，您得到了2011*4_p=（1+（something））_n，这是通过查找模2011禁止的。

很可能你的朋友在n=5的情况下进行了这种搜索，以找到特殊的解决方案。

Answer 2

如果允许平方根和百分比（以及一元负数），那么有很多解决方案，最简单的可能是

$$2011 = (-1 + (2 + 3!)!\%) \div\sqrt{4\%}$$

许多年前，我编写了一个简单的Windows程序，名为$200$以上（链接到Dropbox文件夹）以解决以下问题：

$\hspace{1.75英寸}$

对于某些指定的分母$d\in\mathbb{N}$，计算域为$\mathbb{Z}/d$（并且对分子的大小有限制）。

请注意，在上图中，2018年的解决方案是

$$\大型2018年；\大（\sqrt[\sqrt{\cdot\dot{1}}]{\Large 2}\；+\；3！！\%\%\big）\；\div\；\cdot 4\%。$$