由简单曲线包围的二维形状：我可以无限期地更改形状的面积而不更改其边界曲线的周长吗？

Question

假设在二维空间中，我有一个以面积为$a$的曲线$P$为边界的形状。直觉上，我可以想象我如何在不改变$A$的情况下增加以$P$为边界的形状的周长：我“皱褶”$P$，使其从最初的直线在局部发生如下变化：

如果荷叶边是统一的，我仍然会有与以前相同的面积（每个“荷叶边进”都与“荷叶边出”配对，抵消了面积上的分钟增益）。

我可以更改形状的面积而不无限期地影响其周长吗？

在上述情况下，我可以增加周长，从而增加面积或减少面积。这使我能够将两者结合起来，以始终在不改变面积的情况下增加周长。我无法想象面积会有类似的情况（我可以通过增加周长来增加面积，或者随着周长的减小增加面积). 因此，我怀疑答案是否定的。

我说得对吗？

Answer 1

这个等周不等式$4\pi A\le L^2$根据周长$L$在区域$A$上设置了一个上限。在更高维度上类似：这个不等式的极值集是一个球。

通常没有反向估计（一个集合可以有任意大的周长和任意小的面积）。即使在凸集中，“细针”也是一个反例。然而，如果我们允许自己通过仿射变换使凸集具有更好的形状，则如下所示逆等周不等式可用：

对于每个凸集$C$，都有一个面积和周长满足$12\sqrt的$E$仿射图像{3} A类\通用L^2美元。（三角形达到相等）。

这个结果适用于所有维度：反向等周不等式的极值集是一个单纯形。由于基思·鲍尔.