考虑$\textit{除数求和函数}$，$D（n）$，定义为$$D（n）=\sum_{k=1}^{n} d日（k） ，$$哪里$$d（n）=sum{k|n}^{n} 1。$$
在$D（n）的值中可以观察到以下模式$$$\lbrace D（n）\rbrace=\left\lbrace\overbrace{\underbrace{0}_{\text{even}}}^{1}，\overbrace{\underbrace{1,3,5}_{\text{奇数}}}^{3}，\overbrace{\underbrace{8,10,14,16,20}_{\text{even}}}^{5}，\overbrace{\underbrace{23,27,29,35,37,41,45}_{\text{奇数}}}^{7}，\cdots\right\rbrace，$$其中奇数元素组与偶数元素组交替出现，而$n^{th}$组有$2n-1$元素，（我们可以看到模式是这样的）。现在，基于此（但没有必要对所有$n$验证$D（n）$的模式，我们只能假设存在类似的模式），并且考虑到任何数字都可以写成$$\开始{align*}n=p{1}^{\alpha{1}}\cdot p{2}^{\ alpha{2}}\cdot p{3}\结束{align*}$$其中$p{i}$是质数，可以定义一些算术函数，如下所示$$a（n）=\开始{cases}1，&\text{如果所有}D（\alpha_1），D（\alpha_2），\ldot，D（\ alpha_n）\text{是偶数}\\\\\\0，&\text{如果一个或多个}D（\alpha_{i}）\text{是奇数}，\结束{cases}$$和$$b（n）=\开始{cases}（-1）^{n1+n2+\cdots+ni}，&\text{if}\alpha_i=ni^2，\\0，&\text{if}\alpha_i\text{的格式不是}n_i^2，\结束{cases}$$（亿美元）=$A197774号)然后，我们可以定义两个Dirichlet级数$A（s）=\sum{k=1}^{\infty}\frac{A（k）}{n^{s}}$，其中$A（1）=1$和$B（s）=\sum_{k=1{^{\infty}\ frac{B（k）{n^}}$中$B（1）=1$。
两个狄利克雷级数分别具有以下欧拉乘积$$\开始{align*}A（s）&=\prod_｛p\in\mathbb｛p｝｝\left（1+\frac｛1｝｛p^｛4s｝+\cdots+\frac｛1｝｛p^｛8s｝｝+\frac｛1｝｛p^｛16s｝｝+\cdots+\frac｛1｝｛p^｛24s｝｝+\cdots\right）\\&=\prod_{p\in\mathbb{p}}\左（1+\frac{1}{p^{4s}}\右）+\压裂{1}{p^{16s}}\左（1+\压裂{1{p^}}+\cdots+\frac{1}}{p#8s}}\right）+\光盘\右）\\&=\prod_{p\in\mathbb{p}}\左（1+\sum_{k=1}^{infty}\frac{1}{p^{（2k）^{2} 秒}}\左（1+\frac{1}{p^{s}}+\cdots+\frac{1}}{p*4ks}}\右）\右）\\\结束{align*}$$和$$B（s）=\prod_｛p\in\mathbb｛p｝｝\left（1-\frac｛1｝｛p^｛s｝+\frac｛1｝｛p^｛4s｝}-\frac｛1｝｛p^｛9s｝}+\frac｛1｝｛p^｛16s｝}-\frac｛1｝｛p^｛25s｝}+\frac｛1｝｛p^｛36s｝}-\cdots\right）$$首先，我们可以看到$A（s）$对于$s>\frac{1}{4}$是绝对收敛的。其次，我们可以观察到$B（s）$与$\vartheta_{4}（0，x）=1-x+x相关^{4} -x个^{9} +x^{16}\cdots$（Jacobi Theta函数）由$$\开始{方程式*}B（s）=\prod_{p\in\mathbb{p}}\left（\frac{1}{2}\vartheta{4}（0，p^{-s}）+1\right）\结束{方程式*}$$第三$$\开始{方程式*}\zeta（s）=\压裂{A（s）}{B（s）{\结束{方程式*}$$我们可以把$b（n）$看作是$\mu（n）$Möbius函数的推广，我们可以假设如果$b（s）$收敛于$\Re{s}>\frac{1}{2}$，那么$\zeta（s）$$\frac{1}}{2{$右侧没有零，就像Mertens函数一样，其中$$\开始{方程式*}\压裂{1}{\zeta（s）}=s\int_{1}^{\infty}\frac{M（x）}{x^{s+1}}dx\结束{方程式*}$$类似地，对于$\zeta（s）$，我们有$$\开始{方程式*}\zeta（s）=\压裂{A（s）}{s\int_{1}^{\infty}\压裂{B（x）}{x^{s+1}}dx}\结束{方程式*}$$其中$M（x）$是Mertens函数$$\开始{方程式*}M（x）=sum_{1\leqn\leqx}\mu（x）\结束{方程式*}$$而$B（x）$是$$\开始{方程式*}B（x）=sum_{1\leqn\leqx}B（x）\结束{方程式*}$$我的问题是：这些Dirichlet级数，$A（s）$和$B（s）@，是不是以前研究过的，并且像我那样与$\zeta（s）$-函数相关？或者。。。这是新东西吗？
谢谢。
