帮助在2个一阶常微分方程的系统上使用Runge-Kutta四阶方法。

Question

我的原始ODE是$$\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}-6y=0$$，其中$y（0）=3$，$y'（0）=1$。现在我可以手动求解，得到$y（1）=14.82789927$。然而，我希望使用四阶龙格-库塔方法，所以我有这个系统：

$$\左\{\开始{array}{l}\frac｛dy｝｛dx｝=z\\\frac｛dz｝｛dx｝=6y-z\右端{数组}。$$其中$y（0）=3$和$z（0）=1$。

现在我知道对于两个一般的一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f（x，y，z）\\frac{dz}{dx}=g（x，y，z）$$两个常微分方程组的四阶Runge-Kutta公式是：$$y_{I+1}=y_I+\frac{1}{6}（k_0+2k_1+2k_2+k_3）\\z_{I+1}=z_I+frac{1}}{6{（l_0+2l_1+2l_2+l_3）$$其中$$k_0=hf（x_I，y_I，z_I）\\k_1=hv（x_I+\frac{1}{2} 小时，y_i+\压裂{1}{2} 千0，z_i+\压裂{1}{2} l0（零）)k_2=hf（x_i+压裂{1}{2} 小时，y_i+\压裂{1}{2} k_1，z_i+\压裂{1}{2} l_1)k_3=hf（x_i+h，y_i+k_2，z_i+l_2）$$和$$l_0=hg（x_i，y_i，z_i）{2} 小时，y_i+\压裂{1}{2} 千0，z_i+\压裂{1}{2} l0（零）)l_2=hg（x_i+frac{1}{2} 小时，y_i+\压裂{1}{2} k_1，z_i+\压裂{1}{2} l_1级)l_3=hg（x_i+h，y_i+k_2，z_i+l_2）$$

我的问题是，我正在努力将此方法应用于我的ODE系统，以便我可以编程一种方法，使用上述公式可以求解任何由2个一阶ODE组成的系统，我希望有人能运行该方法的一个步骤，以便我能更好地理解它。

Answer 1

我将概述这个过程，你可以填写计算结果。

我们的系统如下：

$$\左\{\开始{array}{l}\压裂{dy}{dx}=z\\\压裂{dz}{dx}=6y-z\右端{数组}。$$其中$y（0）=3$和$z（0）=1$。

我们必须按照一定的顺序进行计算，因为数值计算之间存在相关性。此订单为：

• $k_0=hf（x_i，y_i，z_i）$

• $l_0=hg（x_i，y_i，z_i）$

• $k_1=hf（x_i+压裂{1}{2} 小时，y_i+\压裂{1}{2} 千0，z_i+\压裂{1}{2} l0（零）)$

• $1=hg（x_i+压裂{1}{2} 小时，y_i+\压裂{1}{2} 千0，z_i+\压裂{1}{2} l0（零）)$

• $k_2=hf（x_i+压裂{1}{2} 小时，y_i+\压裂{1}{2} k_1，z_i+\压裂{1}{2} l_1级)$

• $l_2=hg（x_i+压裂{1}{2} 小时，y_i+\压裂{1}{2} k_1，z_i+\压裂{1}{2} l_1级)$

• $k_3=hf（x_i+h，y_i+k_2，z_i+l_2）$

• $l3=hg（x_i+h，y_i+k_2，z_i+l2）$

• $y_{i+1}=y_i+\压裂{1}{6}（k_0+2k_1+2k_2+k_3）$

• $z_{i+1}=z_i+\frac{1}{6}（l0+2l1+2l2+l3）$

我们通常需要算法的一些输入：

• 我们要计算的范围是：$A\le t\le b$，让我们使用$A=0，b=1$。
• 步骤数$N$，例如$N=10$。
• 步骤大小$h=\dfrac{b-a}{N}=\dfras{1}{10}$

我们正在解决的系统是：

$$\frac{dy}{dx}=f（x，y，z）=z\\frac{dz}{dx}=g（x，y，z）=6y-z$$

对第一个时间步长$i=0，t_0=0=x_0$使用上述顺序进行计算，得到：

• $k_0=hf（x_0，y_0，z_0）=\dfrac{1}{10}（z_0$

• $l_0=hg（x_0，y_0，z_0）=\dfrac{1}{10}（6y_0-z_0$

• $k_1=hf（x_0+\压裂{1}{2} 小时，y_0+\压裂{1}{2} 千0，z0+\压裂{1}{2} l_0)=\dfrac{1}{10}（1+\dfrac{1}{2}\dfrac}{1}}{10}（17））~~$（请继续计算。）

• $1=hg（x_0+\压裂{1}{2} 小时，y_i+\压裂{1}{2} 千0，z0+\压裂{1}{2} l0（零）)$

• $k_2=hf（x_0+\压裂{1}{2} 小时，y_0+\压裂{1}{2} k_1，z0+\压裂{1}{2} l_1级)$

• $l_2=汞（x_0+\压裂{1}{2} 小时，y_0+\压裂{1}{2} k_1，z0+\压裂{1}{2} l_1级)$

• $k_3=hf（x_0+h，y_0+k_2，z_0+l_2）$

• $l_3=汞（x_0+h，y_0+k_2，z_0+l_2）$

• $y_{1}=y_0+\压裂{1}{6}（k_0+2k_1+2k_2+k_3）$

• $z{1}=z_0+\压裂{1}{6}（l0+2l1+2l2+l3）$

现在您有$x_1$和$z_1$，在所有中间步骤之后的下一个时间步骤中需要它们（再次按顺序）。现在，我们进入下一个时间步骤$i=1，t_1=t_0+h=\dfrac{1}{10}=x_1$，因此我们有：

• $k_0=hf（x_1，y_1，z_1）=\dfrac{1}{10}（z_1$

• $l_0=hg（x_1，y_1，z_1）=\dfrac{1}{10}（6y_1-z_1$

• $k_1=hf（x_1+\压裂{1}{2} 小时，y_1+\压裂｛1｝{2} k_0，z_1+\压裂{1}{2} l0（零）)$

• $1=hg（x_1+\压裂{1}{2} 小时，y1+\压裂{1}{2} 千0，z_1+\压裂{1}{2} l0（零）)$

• $k_2=hf（x_1+\压裂{1}{2} 小时，y1+\压裂{1}{2} k_1，z_1+\frac｛1｝{2} l_1级)$

• $l_2=汞（x_1+\压裂{1}{2} 小时，y1+\压裂{1}{2} k_1，z_1+\压裂{1}{2} l_1级)$

• $k_3=hf（x_1+h，y_1+k_2，z_1+l_2）$

• $l3=汞（x_1+h，y_1+k_2，z_1+l_2）$

• $y_{2}=y_1+\压裂{1}{6}（k_0+2k_1+2k_2+k_3）$

• $z{2}=z_1+\压裂{1}{6}（l0+2l1+2l2+l3）$

继续进行$10$时间步。您的最终结果应该与精确解紧密匹配（假设此问题的数值算法是稳定的）。您将$z_{10}$与精确结果进行比较。确切的解决方案是：

$$y（x）=e^{-3x}+2e^{2x}$$

如果我们找到$y（1）=\dfrac{1}{e^3}+2e^2=14.8278992662291643974401973…$。

Answer 2

虽然这个答案与Amzoti的答案包含相同的内容，但我认为从另一个角度来看是值得的。

一般来说，如果你百万美元$一阶常微分方程（适当分解后）。系统看起来像

\开始{align*}\裂缝{dy1}{dx}&=f1（x，y1，\ldots，ym）\\\裂缝{dy2}{dx}&=f2（x，y1，\ldots，ym）\\&\、\、\、\vdots\\\裂缝{dym}{dx}&=fm（x，y1，\ldots，ym）\\\结束{align*}

定义向量$\vec{Y}=（Y_1，\ldots，Y_m）$和$\vec{f}=（f1，\ldots，f_m）$，那么我们可以将系统写为

$$\frac｛d｝｛dx｝\vec｛Y｝=\vec｛f｝（x，\vec｛Y｝）$$

现在我们可以通过定义\开始{align*}\血管内皮细胞{k} _1个&=h\vec{f}\左（x_n，\vec}（x_n）\右）\\\血管内皮细胞{k} _2&=h\vec{f}\左（x_n+\tfrac{1}{2} 小时，\vec{Y}（x_n）+\tfrac{1}{2}\vec{k} _1个\右侧）\\\向量{k} _3个&=h\vec{f}\左（x_n+\tfrac{1}{2} 小时，\vec{Y}（x_n）+\tfrac{1}{2}\vec{k} _2\右侧）\\\血管内皮细胞{k} _4个&=h\vec{f}\左（x_n+h，\vec}Y}（x_n）+\vec{k} _3个\右侧）\结束{align*}

然后通过以下公式给出解决方案$$\vec{Y}（x_{n+1}）=\ vec{Y}（x_n）+\tfrac{1}{6}\左（\vec{k} _1个+2\vec{k} _2+2\vec{k} _3个+\vec{k} _4个\右侧）$$

具有百万美元$由指定的初始条件$\vec{Y}（x_0）$。当编写代码来实现此功能时，可以简单地使用数组，并编写函数来计算$\vec{f}（x，\vec}Y}）$

对于提供的示例，我们有$\vec｛Y｝=（Y，z）$和$\vec{f}=（z，6y-z）$。下面是Fortran90中的一个示例：

程序RK4隐式无整数，参数：：dp=kind（0.d0）整数，参数：：m=2！ODE的顺序实数（dp）：：Y（m）实数（dp）：：a，b，x，h整数：：N，i! 步骤数N=10! 首字母xa=0x=a! 最终xb=1! 步长h=（b-a）/否! 初始条件Y（1）=3！y（0）Y（2）=1！y’（0）! 迭代N次do i=1，NY=迭代（x，Y）x=x+h结束do打印*，Y包含! 函数f计算向量f函数f（x，Yvec）结果（fvec）实数（dp）：：x实数（dp）：：Yvec（m），fvec（m）fvec（1）=Yvec（2）！z（z）fvec（2）=6*Yvec（1）-Yvec！6y-z型末端函数! 函数迭代计算Y（t_n+1）函数迭代（x，Y_n）结果（Y_nplus1）实数（dp）：：x实数（dp）：：Y_n（m），Y_nplus1（m）实（dp）：：k1（m），k2（m）、k3（m）和k4（m）k1=h*f（x，Y_n）k2=h*f（x+h/2，Y_n+k1/2）k3=h*f（x+h/2，Y_n+k2/2）k4=h*f（x+h，Y_n+k3）Y_nplus1=Y_n+（k1+2*k2+2*k3+k4）/6end函数结束程序

这可以应用于任何一组百万美元$一阶常微分方程，只需更改米在代码中并更改函数（f）适用于利益体系的任何内容。按-is运行此代码会产生

14.827578509968953美元\qquad 29.406156886687729$

第一个值是美元（1）$，第二个$z（1）$，只需十步就可修正到小数点后三位。

Answer 3

Matlab实现如下所示：

%它使用Runge-Kutta四阶方法计算ODE%作者Ido Schwartz%最初可用的形式：http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29851-runge-kutta-4th-order-ode/content/runge_kutta_4.m%阿明·A·穆罕默德（Amin A.Mohammed）主编，2部ODE（2016年4月）分类代码；%清除屏幕清除所有；h=0.1；%步长x=0:h:1；%最多计算y（1）y=零（1，长度（x））；z=零（1，长度（x））；y（1）=3；%初始条件z（1）=1；%初始条件%F_xy=@（t，r）3.*exp（-t）-0.4*r；%根据需要更改功能F_xyz=@（x，y，z）z；%根据需要更改功能G_xyz=@（x，y，z）6*y-z；i=1时：（长度（x）-1）%计算循环k_1=F_xyz（x（i）、y（i）和z（i））；L_1=G_xyz（x（i），y（i）和z（i））；k_2=F_xyz（x（i）+0.5*h，y（i）=0.5*h*k_1，z（i）+0.5*h*L_1）；L_2=G_xyz（x（i）+0.5*h，y（i）=0.5*h*k_1，z（i）+0.5*h*L_1）；k_3=F_xyz（（x（i）+0.5*h），（y（i）=0.5*h*k_2），（z（i）+0.5*h*L_2））；L_3=G_xyz（（x（i）+0.5*h），（y（i）=0.5*h*k_2），（z（i）+0.5*h*L_2））；k_4=F_xyz（（x（i）+h），（y（i）+k_3*h）已更正L_4=G_xyz（（x（i）+h），（y（i）+k_3*h）；y（i+1）=y（i）+（1/6）*（k_1+2*k_2+2*k_3+k_4）*h；%主方程z（i+1）=z（i）+（1/6）*（L_1+2*L_2+2*L_3+L_4）*h；%主方程结束

Answer 4

A类Fortran代码如下所示：

生成以下内容结果

!Runge-Kutta四阶方法!对于二阶微分方程!首先必须定义函数F（x，y，z）=z！年月日G（x，y，z）=6*y-z！dz/dx=d2y/dx2整数：：n，i真实：：k1，l1，k2，l2，k3，l3，k4，l4！最重要的写下（*，*）“给定方程'（y2）-6（y1）+（y0）=0'”写入（*，*）“Xo=0，Yo=3，Zo=Y'o=1，Xn=1，n=？”Xo=0！给定条件Yo=3！给定条件Zo=1！给定条件Xn=1！给定条件读取（*，*）n！n=截距数h=（Xn-Xo）/n做i=1，n！您必须进行“n”次计算k1=h*F（Xo，Yo，Zo）l1=h*G（Xo，Yo，Zo）k2=h*F（Xo+h/2，Yo+k1/2，Zo+l1/2）l2=h*G（Xo+h/2，Yo+k1/2，Zo+l1/2）k3=h*F（Xo+h/2，Yo+k2/2，Zo+l2/2）l3=h*G（Xo+h/2，Yo+k2/2，Zo+l2/2）k4=h*F（Xo+h，Yo+k3，Zo+l3）l4=h*G（Xo+h，Yo+k3，Zo+l3）!总结Yn=Yo+（k1+2*k2+2*k3+k4）/6Zn=Zo+（l1+2*l2+2*l3+l4）/6!下一次计算的操作Xo=Xo+h！（+h）比上一学期Yo=Yn！现在Yn变成YoZo=锌！现在Zn变成了Zo结束Do写入（*，*）“Xn，Yn=”，Xo，Yo停止终点

Answer 5

Rust实现如下：

常数M:usize=2；//系统的大小fn主（）{设mut y:[f64；M]=[0.0；M]；设muta：f64=0.0；设mut x：f64=a；设mut b:f64=0.0；设n:usize=10；设h:f64=（b-a）/n为f64；//初始条件y[0]=3.0；//y（0）y[1]=1.0；//y’（0）对于0..n中的_i{y=rk4_步长（x，y，h，&导数）；x+=小时；}打印！（“{：？}”，y）；}//定义方程组的导数fn导数（x:f64，y:[f64；M]）->[f64，M]{设mut dy_dx:[f64；M]=[0.0；M]；dy_dx[0]=y[1]；//dy/dx=zdy_dx[1]=6.0*y[0]-y[1]；//dz/dx=6y-zdy_dx（发送日期）}//执行RK4的一步fn rk4_步长（x:f64，y_n:[f64；M]，h:f64{设mut k1:[f64；M]=[0.0；M]；设mut k2:[f64；M]=[0.0；M]；设mut k3:[f64；M]=[0.0；M]；设mut k4:[f64；M]=[0.0；M]；设mut y_n_plus_1:[f64；M]=[0.0；M]；k1=比例vec（&f（x，y_n），h）；k2=比例vec（&f（x+h/2.0，添加vec（y_n，&scalevec（k1，0.5））），h）；k3=比例vec（&f（x+h/2.0，添加vec（y_n，&scalevec（k2，0.5））），h）；k4=缩放向量（&f（x+h，add_vec（&y_n，&k3）），h）；y_n_plus_1=添加vec(&y_n，&缩放vec(&添加vec（&k1，&addvec（&缩放vec（-k2，2.0），&addvesc（&scalevec（k3，2.0）和&k4））），1.0 / 6.0,),);y_n加1}//Helper函数：元素向量加法fn add_vec（a:&[f64；M]，b:&[f64；M]）->[f64；M]{设mut结果：[f64；M]=[0.0；M]；对于0…M中的i{结果[i]=a[i]+b[i]；}结果}//Helper函数：向量的元素级标量乘法fn scale_vec（a:&[f64；M]，标量：f64）->[f64；M]{让多个结果：[f64；M]=[0.0；M]；对于0…M中的i{结果[i]=a[i]*标量；}结果}