投影公式的直观性

Question

对于态射$f:X\rightarrow Y$，$Y$上的局部自由簇$\mathcal｛G｝$，以及$X$上的拟相干簇$\mathcal｛G｝$，我们有投影公式$$f_*（\mathcal{f}\otimes_{\mathcal{O} X（_X）}f^*\mathcal{G}）\simeq f_*\mathcal{f}\otimes_{\mathcal{O} 是（_Y）}\数学{G}$$

我没有问题证明这一点，但我很难将其视为投影！如果我们使用$\mathcal{G}=\mathcal，这看起来更像是前推与基础更改的兼容性{O} 是（_Y）$. 将其称为投影公式的动机是什么？

Answer 1

例如，在我的例子中，我需要将此公式应用于自然投影$$\pi:X\times\operatorname{分区}_X\到\操作员姓名{分区}_X $$其中$X$是曲线，$\operatorname{分区}_X$表示$X$上的有效卡地亚除数集。

我想这个名字是因为人们经常面临这种情况。

直观地说，如果您有一个从$\pi:X\次Y\到Y$的投影，并且在产品上放置$\mathscr{F}$，在$Y$上放置$\fathscr{G}$，那么您可以考虑回调$\pi^*\mathscr{G}$，它在投影的光纤上是恒定的。您可以用上面的$\mathscr{F}$张量它，获得$$\mathscr{F}\otimes\pi^*\mathscr{G}$$想知道如果你再把这个推到$Y$会发生什么。好吧，在上述假设下，这句话确保了前进层是你所期望的：$$\pi_*\mathscr｛F｝\otimes\mathscr｛G｝$$即用普通的$\mathscr{G}$张量的$\mathscr{F}$的前推。