射影空间上的杯积结构

Question

我正在阅读关于杯子产品的文章，并被困在Hatcher（3.2.5）的这个练习中。假设$H^*（\mathbb{R} P（P）^\infty，\mathbb{Z} _2)\西梅克\mathbb{Z} _2[\alpha]$，如何显示$H^*（\mathbb{R} P（P）^\infty，\mathbb{Z} _4个)\西梅克\mathbb{Z} _4个[\alpha，\beta]/（2\alpha、2\beta、\alpha^2？

上同调群为$\mathbb{Z} _4个位置0处的$和$\mathbb{Z} _2每隔一个位置就有$。我想找到杯子的产品结构。为此，我需要找到一个cochain映射$f:C^\bullet（\mathbb{R} P（P）^\infty，\mathbb{Z} _4个)\右箭头C^\项目符号（\mathbb{R} P（P）^\infty，\mathbb{Z} _2)环映射$\mathbb引入的${Z} _4个\向右箭头\mathbb{Z} _2$.

两个cochain复合体看起来像

$\cdots{\leftarrow}\mathbb{Z} _4个\stackrel{0}{\leftarrow}\mathbb{Z} _4个\stackrel{2}{\leftarrow}\mathbb{Z} _4个\stackrel{0}{\leftarrow}\mathbb{Z} _4个\左箭头0$

和

$\cdots{\leftarrow}\mathbb{Z} _2\stackrel{0}{\leftarrow}\mathbb{Z} _2\stackrel{0}{\leftarrow}\mathbb{Z} _2\堆栈｛0｝｛\leftarrow｝\mathbb{Z} _2\左箭头0$

以下是我的问题：

$\bullet$诱导的cochain映射是什么？

$\bullet$有人能告诉我为什么$\alpha\cup\alpha=0$吗？

$\bullet$为什么$\alpha\cup\beta$生成3度？

有没有一种快速的方法从几何角度回答这些问题？

Answer 1

看看复合体，我们发现上同调群的诱导映射是偶数度的同构，奇数度的零同构（因此符号有点误导：$\alpha$映射到$0$，而不是$\alfa$）。所以$\alpha^2=0$（因为$f（\alpha ^2）=f（\alpha）^2=0）$和$\beta$的幂生成了均匀上同调。

剩下的问题是为什么$\alpha\beta^n$不为零。从球束$S^1的Gysin精确序列（参见Hatcher 4.D）到S^\infty到mathbb RP^\inffy$，$$\ldots\到H（S^\infty）=0到H^k（\mathbb RP^\inffy）\到H^{k+2}，$$我们看到$\beta$的乘法给出了（对于$k>0$）到H^{k+2}（\mathbb RP^\infty）$的同构$H^k。量化宽松政策。（当然，海切尔心里还有其他的理由……）