函数$f:[0,1]\rightarrow\Bbb R$，这样$\forall c\in\Bbb-R:f^{-1}（c）$Lebesgue Measurable，但$f$不是Lebesgue Measuable。

Question

我为下面的说法想出了一个反例：

让$f:[0,1]\右箭头\Bbb R$假设每个美元\in\Bbb R$，集合$\{x\in[0,1]\|\f（x）=c\}$是$\mathcal L^1$-可衡量的。然后$f美元$是$\mathcal L^1$-可测量。

符号。

• $\mathcal L^1$是不相交区间上体积函数的唯一Carathéodory-Hahn扩张，我称之为Lebesgue测度。
• 一套美元\substeq\Bbb R$是$\mathcal L^1$-可测iff所有B\subsetq\Bbb R:\mathcal L^1（B）=\mathcall L^1$.
• A函数$f美元$是$\mathcal L^1$-可测iff所有U\subseteq\Bbb R的美元$打开，$f^{-1}（U）$是$\mathcal L^1$-可衡量的。

反例。

让P美元$Vitali集（或$[0,1]$这样的话$[0,1]\set减去P$无法计算）。让$f:[0,1]\右箭头\Bbb R$使得$f|_{P}$是一个双射P美元$和$\left[0，{1\over 2}\right）$、和$f|_{[0,1]\set-muse-P}$是一个双射$[0,1]\设置减去P$和$\左[{1\over 2}，1\right]$.

自$f:[0,1]\右箭头[0,1]$是一个双射，每个美元\in\Bbb R$作为前图像$\varnothing美元$还是单身$\｛f^｛-1｝（c）\｝$.因为单身汉是Borel，所以他们是$\mathcal L^1$-可测量，因此$f美元$满足上述条件。

然而，开放集$\left[0，{1\over 2}\right）$有一个不可测量的前像，这意味着$f美元$不是$\mathcal L^1$-可衡量的。美元\平方$

问题。我知道对于两个不可数的集合A、B美元$通过及物性，两者之间必须存在双射，因为两者都存在双射$2^\欧米茄$然而，我想知道我的构造是否定义良好，当然假设是AOC，以及如何严格地证明这样一个函数的存在。此外，我的推理正确吗$f^{-1}（c）$是$\mathcal L^1$-可衡量？

注：。为了充分披露，这是一个来自家庭作业问题单的正确或错误练习。然而，这些解决方案并没有为这些真实或虚假的问题提供任何证据/反例，这就是我在这里问的原因。

Answer 1

正如西蒙·皮特所说，你的函数是一个正确的反例，但正如安妮·鲍瓦尔所说，证明了这一点P美元$与处于双射状态$[0,1/2)$很棘手（尽管不太难）。我认为这个问题是可以避免的，因为您无论如何都不需要双射：一次注射就足够了。定义$f:[0,1]\to\mathbb{R}$通过$$f（x）=\开始{cases}\压裂{1}{2} x个，&x\在P中\\\压裂{1}{2} x+\frac{1}{2}，&x\in[0,1]\set-buse-P。\结束{cases}$$这个$f美元$是内射的*，因此每个$f^{-1}（c）$仍然是空的或单例的，因此其他所有内容都是相同的。

*:$f^{-1}（1/2）$可能包含两者1美元\P$和$0\以[0,1]\减去P$但这仍然是有限的和可测量的。如果你愿意，你可以$f|_{P}（x）=\压裂{1}{2} x个-\裂缝{1}{2}$以避免出现这种情况。

Answer 2

"我知道对于两个不可数的集合A、B美元$通过及物性，两者之间必须存在双射，因为两者都存在双射$2^ω$.“不是真的：首先，你肯定认为美元A、B⊆\Bbb R$第二，你声称$\Bbb卢比$与处于双射状态$\Bbb卢比$相当于连续体假说.最好直接证明P美元$,$[0,1]\设置减去P$，以及任何非平凡的实数区间。剩下的没问题。

当然，因为P美元$如果没有显式给出（它的构造依赖于AC），则无法显式构造所需的bijections。这并不妨碍你证明他们的存在。

例如，$[0,1]=\平方杯_｛p\在p｝E_p中$其中每个$E_p（美元）$是可数的，因此$|[0,1]|=|P\次\Bbb N|$，这意味着$|P|=|[0,1]|$同样，$[0,1]\setminus P=\sqcup_{P\in P}（E_P\setminus\{P\}）$暗示$|P|=|[0,1]\设置负P|$.

Answer 3

您的函数定义很好：从理论上讲，是一个函数$f:A\右箭头B$被正式定义为三联体$（A、B、G）$，其中美元$和十亿美元$是个集合，并且G美元$（函数的图形）是$A\乘以B$这样所有人$a\单位：a$，有一个独特的$b\单位：b$使得$（a，b）\G$.

假设AC，P美元$存在，一个介于P美元$和$[0,1/2)$存在，以及之间的双射$[0,1]\设置减去P$和$[1/2,1]$存在。如果你打电话美元G_0$第一个函数的图形和G_1美元$第二个函数的图形，那么您构造的函数在形式上是三元组$（[0,1]，\mathbb R，G_0\杯G_1）$（这是两个函数的粘合，因为并集是通过并集公理存在的。）这是形式主义中的一个简短练习，可以证明这满足上面给出的函数定义。

这也是形式主义中的一个简短练习，以表明它是内射的，因此任何点的前像确实是$\varnothing美元$或者是可以测量的单粒子。

因此，你的推理是正确的，你的结构实际上是对所给陈述的反例。