理解线性代数中关于向量的含义

Question

让V美元$是的子空间$\mathbb{R}^n$用通常的点积，让V中的$\mathbf{z}、\mathbf{w}$是固定向量。如果每$\mathbf{v}\以v表示$它认为$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$，然后$\mathbf{z}=\mathbf{w}$.

我试图理解为什么插入$\mathbf{v}=0$不是正确的方法。这被认为是暗示权，所以如果我认为$\mathbf{z}，\mathbf{w}$作为不同的向量，那么它认为$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$为0=0，且结果$\mathbf{z}=\mathbf{w}$在以下情况下为false$\mathbf{v}=0$?

为什么这是错误的方法？

Answer 1

建议的声明如下：如果$\mathbf{v}\以v表示$它认为$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$，然后$\mathbf{z}=\mathbf{w}$

这可以重写如下：V中的$\mathbf{z}、\mathbf{w}$如果它坚持的话$\mathbf｛z｝\cdot\mathbf｛v｝=\mathbf｛w｝\cdot\mathbf｛v｝$不考虑所选向量v中的$\mathbf{v}\$然后$\mathbf{z}=\mathbf{w}$

因此，为了达到一个矛盾，我们必须能够想出两个向量V中的$\mathbf{z}、\mathbf{w}$它们不相等（即。$\mathbf{z}\neq\mathbf{w}）$哪里$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$对于全部的 v中的$\mathbf{v}\$

你认为这一说法存在矛盾，因为存在向量$\mathbf{z}\neq\mathbf{w}$哪一个$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$对于一些矢量$\mathbf{v}=\mathbf{0}$但是自从一些向量不是所有矢量在里面$V$你的结论是错误的。

这有帮助吗？

Answer 2

这是错误的方法，因为插入$\mathbf{v}=\mathbf{0}$不是得出结论所依据的给定条件。条件是全部的 $\mathbf{v}$，我们有$\mathbf{v\cdot w}=\mathbf{v\cdot z}$，而不仅仅是一个向量$\mathbf{v}=\mathbf{0}$.

Answer 3

让$\mathbf{v}=（x_1，x_2，\cdots，x_n）\以v表示$是任意向量，以便$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$.书写，$$\mathbf｛z｝=（z_1，z_2，\cdots，z_n）\quad\text｛and｝\quad\mathbf｛z｝=（w_1，w_2，\cdots，w_n）$$我们获得$$z_1x_1+z_2x_2+\cdots+z_nx_n=w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n$$这意味着$$（z_1-w_1）x_1+（z_2-w_2）x_2+\cdots+（z_n-w_n）x_n=0.\tag{1}$$自$\mathbf{v}$是任意的（因此$x_1，x_2，\cdot，x_n\in\mathbb{R}$，参见下面的引理）我们得出结论$$z_1=w_1，z_2=w_2，\cdot，z_n=w_n$$那就是$\mathbf{z}=\mathbf{w}$，根据需要。

---

引理。让$x_1，x_2，，\cdot，x_n\in\mathbb{R}$，对于一些$n\in\mathbb{n}$.如果$$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=0$$对所有人来说$a_1，a_2，\cdot，a_n\in\mathbb{R}$，然后$x_1=x_2=\cdots=x_n=0$.

证明。矛盾地假设至少存在一个$i\in\{1,2，\cdot，n\}$这样的话$x_i\neq 0$然后，存在系数选择$a_1，a_2，\cdot，a_n\in\mathbb{R}$这使得$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\neq 0$这将与方程式适用于所有人的给定条件相矛盾$a_1，a_2，\cdot，a_n\in\mathbb{R}$因此，所有$x_1，x_2，\cdot，x_n$必须为零。$\黑色方块$

Answer 4

如果每$\mathbf{v}\以v表示$它认为$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$，然后$\mathbf{z}=\mathbf{w}$.

在数学逻辑的语法中，我们可以这样写：

$$\左（v中的所有mathbf v：\mathbf{z}\cdot\mathbf（右）\暗示\左（\mathbf{z}=\mathbf{w}\right）。$$

含义的左侧是整个语句，“对于每个$\mathbf{v}\以v表示$它认为$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$"如果你想反驳这一暗示，你会寻找$\mathbf z美元$和$\mathbf w美元$在里面V美元$左侧为真，即，$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$对于每一个 $\mathbf v美元$在里面V美元$不仅仅是一个人$\mathbf v美元$--右侧为假，即，$\mathbf z\neq\mathbf-w$

我试图理解为什么插入$\mathbf{v}=0$不是正确的方法。这被认为是暗示权，所以如果我认为$\mathbf{z}，\mathbf{w}$作为不同的向量，则它认为$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$是$0 = 0$以及随之而来的$\mathbf{z}=\mathbf{w}$当$\mathbf{v}=0$?

在这一段中很难发现你的思路。

• “这被认为是暗示……”你认为“这”是什么？我们正在研究的确切含义是什么？
• “……所以如果我接受$\mathbf{z}，\mathbf{w}$作为不同的向量，那么它认为$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$是$0 = 0$... .“so”一词通常表示“so因为在“so”之前出现的东西。但你在“所以”之后说的是真的，因为$\mathbf v=0$,不是因为“暗示”（无论你认为“暗示”是什么）。
• “……结果$\mathbf｛z｝=\mathbf｛w｝$在以下情况下为false$\mathbf{v}=0$?“声明$\mathbf{z}=\mathbf{w}$（这确实是定理中蕴涵的结果）如果取$\mathbf{z}$和$\mathbf{w}$作为不同的向量，就像你在同一句话前面的“如果”后面所做的那样。你设置的方式，$\mathbf{z}=\mathbf{w}$对于的任何值为false$\mathbf诉$是的，这是假的“当$\mathbf v=0$“；当$\mathbf v\neq 0$那么为什么要提到$\mathbf v美元$?

我之所以质疑你所认为的暗示是什么，是因为虽然你清楚地确定了一个结果，但你从未确定前因。所以我想知道你是否认为你被要求证明这一说法：

$$\对于v中的所有\mathbf v\：\左（\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}\表示\mathbf{z}=\mathbf{w}\right）。$$

这个说法显然是错误的，因为至少存在一个$\mathbf v美元$在里面V美元$这样先行词$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$是正确的，但结果是$\mathbf{z}=\mathbf{w}$为false。

你的第二段暗示了对这一说法的反驳。你找到了一种方法$\mathbf{z}\cdot\mathbf1{v}=\mathbf2{w}\cdot \mathbf2{v}$是正确的，并且$\mathbf{z}=\mathbf{w}$为false。

但在你应该证明的陈述中，没有暗示谁的先行词是$\mathbf｛z｝\cdot\mathbf｛v｝=\mathbf｛w｝\cdot\mathbf｛v｝$.正确的先行词是$\forall\mathbf v\in v:\mathbf{z}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{w}\cdot \mathbf1{v}$