在希尔伯特空间的对称张量积中显示子集是稠密的

Question

让$\mathcal{H}$成为希尔伯特空间$\mathcal{H}^{\odot p}$表示美元$-折叠对称张量积。我想展示一下

$$U=\text｛Span｝\｛U^｛\otimes p｝：U\in\mathcal｛H｝\｝$$

在$\mathcal{H}^{\odot p}$.如果$（e_n）$是$\mathcal{H}$，我的预感是你可以通过显示任何$i_1，\点，i_p\in\mathbb{N}$，你可以快递$$\sum_{\sigma}e_{i_1}\otimes\cdots\otimese_{ip}$$作为元素的线性组合美元$，其中总和覆盖所有排列。我的想法是考虑如下表达式$$（a_1e_{i_1}+\cdots+a_pe_{i _p}）^{\otimes p}\在U中$$对于合适的系数$a_1，\dots，a_p\in\mathbb{R}$。我在一些特殊情况下检查过这种方法是否有效，但我无法概括如何选择系数。

Answer 1

（这基本上是从回答我给另一个问题写信。）

$$\mathrm{Sym}（h1\otimes\cdots\otimes-h_p）=\frac{1}{2^pp！}\sum_{（i_1，\cdots，i_p）\in\{\pm1\}^p}[（\prod_{j=1}^pi_j）（i_1h_1+\cdots+i_ph_p）^{\otimes-p}]$$

在哪里？$\mathrm｛Sym｝$通常由定义，

$$\mathrm{Sym}（h1\otimes\cdots\otimesh_p）=\frac{1}{p！}\sum_{\sigma\在S_p}h{\sigma（1）}\otimes\ cdots\ otimesh（p）}中$$