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$\开始组$

让

  • $（\Omega，\mathcal A，\operatorname P）$是概率空间；
  • $（\mathcal F_t）_{t\ge0}$被过滤掉$（\Omega，\mathcal A）$;
  • $\theta_0=\operatorname｛id｝_\欧米茄$和$\theta_t:\Omega\to\Omega$是$（\mathcal A，\mathcal A）$-可测量；
  • $（A_t）_{t\ge0}$成为$[0，\infty]$-有价值的非递减右控制过程$（\Omega，\mathcal A）$具有$$A_｛s+t｝=A_s+A_t\circ\theta_s\tag1$$
  • $\xi美元$成为$[0，\infty）$-值随机变量$（\Omega，\mathcal A）$具有$\operatorname P[\xi>0]=1$和$$\tau:=\inf\left\{t\ge0:A_t\ge\xi\right\}$$

我该如何证明$$\tau\circ\theta_s=\tau-s；\；\；\操作员名P\text{-几乎肯定在}\{s<\tau\}\tag2上$$

根据这些假设，我最终得出$$\tau\circ\theta_s=\inf\left\{t\ge0:A_t-A_s\ge\xi\circ\t theta_s\right\}-s\tag3$$几乎可以肯定。我什么都用过了，除了限制$\{s<\tau\}$。后者明确表示$A_s<\xi$在$\{s<\tau\}$.但这应该意味着$(3)$是$0$在$\{s<\tau\}$.

我在这里做错了什么？

当$\xi美元$是非随机的。如果我知道如何证明这一点，我仍然会担心$\xi\circ\theta_s$在一般情况下。也许有必要做进一步的假设。在实践中，我认为美元\theta_s$是$（\mathcal F_{s+t}，\mathcall F_t）$-所有人都可以测量$s，t\ge0$还有那个$\xi美元$独立于$（\mathcal F_t）_{t\ge0}$然而，虽然这有点直观，但它应该意味着$\ xi=\ xi \ circ\ theta_s$，我也无法证明这一点。

$\端组$
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  • $\开始组$ 对于$A_t=t$和$\theta_t=\operatorname{标识}_\欧米茄$有$\tau=\tau\circ\theta_s=\xi$。所以$\tau\circ\theta_s=\tau-s$意味着$s=0$。很明显你的陈述有问题。它从哪里来？ $\端组$
    – 威尔
    评论 6月11日19:44
  • $\开始组$ @Will带常量$\xi$的在这本书第66页 $\端组$
    – 0xbadf00d（错误00d）
    评论 6月12日7:47

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