在一组二进制字符串中，有多少个元素正好有$k$个重复字符块。

Question

我一直在考虑这个问题，但我找不到一个解析公式来求解并将其推广到任何长度的字符串。

让美元$是一个定义为$\left\｛a_1a_2a_3a_4a_5a\u6\中a_i\ in \｛u，d \｝\text｛for｝i=1,2，。。。，6\右\}$例如，$ududud\在A中$或$dduudd\在A中$.

A类u形块是重复的$u（美元）$元素中的子字符串美元$例如，$udud（美元）$有3个u块，每个u块的长度为1。而且$dduudd美元$具有长度为2的u的1个块。

我想知道美元$是这样的千美元$块，共块$u的$任何长度。例如，中只有一个元素美元$包含0个块$u的$，说吧$dddddd美元$中只有两个元素美元$带3块$u的$，说吧$udud（美元）$和$dududu美元$.

Answer 1

注意：问题陈述不明确。我用“任何长度”来表示$u的$可能没有相同的长度，这就是下面的解决方案计算的结果。但这与给出的长度示例不匹配$6$和$3$阻碍。当然，如果长度都相同，那是一个更容易的星条旗问题，因为（固定块长度）我们确切知道间隙的总和。无论如何，我将解决下面的可变长度问题。

可变长度问题：

这是一个星条旗伪装的问题。

一般来说，假设我们想考虑长度为n美元$准确地包含百万美元$块，共块$u的$，拨打这样的号码F（n，m）美元$.

我们写这样一个字符串$$d美元^{a0}u^{b1}d^{b_1}\cdots u^{bm}天^{男}$$

当然$$\sum a_i+\sum b_j=n$$

现在，$a_0，a_m$可以是$0$，但所有其他人必须至少$1$因此，我们定义$$A_i=\开始｛个案例｝a_0，&\text{如果$i=0$}\\a_i-1，&\text{如果$0<i<m$}\\a_m，&\text{如果$i=m$}\结束{cases}$$

$$B_i=B_i-1$$

然后我们看到200万美元+1$变量$A_i，B_i$它们都是非负整数，其和为n-200万美元+1$.

由此可见F（n，m）美元$，填充$A_i、B_i$，是$$\装箱{\binom{n+1}{2m}}$$

健康检查：如果$m=0$，我们得到$1$，这是我们应该做的。$F（3.1）=\binom 42=6$好的弦是$udd，dud，ddu，uud，duu，uuu$。我们还注意到，该公式意味着$F（n，m）=0$如果200万美元>n+1$很容易看出，这是应该的。