查找mobius变换的图像

Question

让$f（x）=\压裂{z-3}{z+2}$做一个莫比乌斯变换。我想找到电视机的位置$\Omega=\left\lbrrace z\in\mathbb｛C｝：0\leq Arg（z）<\frac｛\pi｝｛4｝\right\lbrrace$在保角映射下映射$f美元$.

我试图找到一个新变量的参数$w=压裂{z-3}{z+2}$经过一些数学运算：$$z=压裂{2w+3}{1-w}$$

现在我知道了$0\leq-Arg（z）<\frac{\pi}{4}$因此

$$0\leq-Arg\left（\frac{2w+3}{1-w}\right）<\frac{\pi}{4}$$ $$0\leq-Arg（2w+3）-Arg（1-w）<\frac{\pi}{4}$$但现在我被困在这里，因为我不知道如何找到一个好的公式$Arg（w）$.所以我尝试了第二种方法。

我考虑过直线$y=0，x\geq 0$，代表$Arg（z）=0$我把它映射成直线$y=0，x\leq 1$.但在那之后，我无法将另一条线映射成一个圆（？），我想。。。有什么提示吗？谢谢您！

Answer 1

提示：莫比乌斯地图上直线或圆的图像由三个点的图像决定。

在每条线上取三个点($\arg（z）=0$和$\arg（z）=\pi/4$)并查看它们被映射到哪些圆/线（因为Möbius映射将圆/线发送到圆/线）。

然后确定出现的区域是正确的。

Answer 2

你也可以这样做。这个Mobius转换将扩展实线映射到自身，$\infty（美元）$映射到1，0映射到-3/2。因此，半线$[0，+\infty]$将映射到$[-3/2,1]$.半线$[0，i\infty]$（从0开始向上延伸的光线）因此必须映射到穿过$-3/2$和$1$，并且它必须以45度角与实轴相交，因为Mobius变换保留了角度。通过保持方向，它必须位于上半平面。从这里开始，圆的方程应该很简单。