通常，如果约束条件仅仅是反对穿越$~(1,1), ~(2,2),~$和$~(3,3),~$那么我会说间接的包容排除的方法是最好的。请参见这篇文章对于引入包容性排除。然后，请参阅这个答案解释并证明包含排除公式.
但是，添加的约束始终位于直线上或直线右侧$~x=y~$使Inclusion-Exclusion的使用更加困难。因此，我同意原海报使用一些直接方法，即使这种方法不能很好地泛化，而且即使这种方法倾向于促进分析错误。你只需要非常小心地处理事情。
在这一点上，为了深入了解问题中较难的部分，我首先会问自己，从哪里获得满意的结果$~(4,4)~$到$~(8,8).$所以，你必须结合$~4~$垂直移动$~4~$水平移动，这样在任何情况下，垂直移动的数量都不会超过水平移动的数量。
出租$~（x，y）~$表示从$~(4,4)~$你吃了$~x美元~$水平移动和$~y美元~$垂直移动，在你去的路上 $~(8,8),~$任何选择的道路都不能有$~x<年~$
这里的挑战是努力追求某种（适度的）优雅形式，同时仍然将这些案例划分为相互排斥的可能性。
从$~(4,4)~$到$~(8,8)~$不考虑$~x=y~$划线必须是$~\displaystyle\binom｛8｝｛4｝=70$
因此，我将从这个数字中扣除$~x=y~$行是第一次交叉在任一位置$~(4,4), ~(5,5), ~(6,6),~$或$~(7,7).$我会让柜台$~N_1、\cdot、N_4~$表示这些各自的枚举。
这个$~x=y~$线首先在$~(4,4).~$
这意味着第一步是垂直移动，而不是水平移动。
考虑到对称性，你必须做到
$~\显示样式N_1=\压裂{70}{2}=35$
这个$~x=y~$线首先在$~(5,5).~$
所以，第一步是水平的，第二步是垂直的。
然后，有$~3~$垂直和$~3~$水平移动挂起。
同样，援引对称性的考虑，你必须有
$~\显示样式N_2=\显示样式\frac{\binom{6}{3}}{2}=10$
这个$~x=y~$线首先在$~(6,6).~$
例如，HHVV表示进行了两次水平移动，然后进行了两个垂直移动，可能性如下
HHVV和HVHV。
然后，调用与最后一节类似的对称性考虑，违反$~x=y~$线是那么
$~\显示样式\显示样式\frac{\binom{4}{2}}{2neneneep=3$
因此，$~N_3=2\乘以3=6$
这个$~x=年~$线首先在$~(7,7).~$
在这里，令人满意地达到$~(7,7)~$是
高HVVV、HHVHV、HHVVH、HVHHV、HVHVHV：$~5~$方式。
然后，有一个挂起的V移动和一个挂着的H移动，V移动必须是第一个。因此，$~N_4=5$
因此，从$~(4,4)~$到$~(8,8)~$是
$$70-（N_1+N_2+N_3+N_4）=70-（35+10+6+5）=14。\标签1$$
只是为了明确，如果没有限制$~(1,1), ~(2,2),~$或$~(3,3)~$交叉，则整个枚举将为
$$14^2.$$
然而，必须适应增加的限制。
因此，我认为问题的前半部分是完整的，然后我将努力在问题的后半部分中利用这半部分的见解
所以，在问题的前半部分$~14~$出发方式$~(4,4)~$到$~(8,8),~$停留在$~x=y~$行。从开始时$~(0,0),~$到$~(4,4),~$停留在$~x=y~$行，有多少种方法第一次违规在其中一个着陆$~(1,1), ~(2,2),~$或$~(3,3) ~?$
我会让$~M_1，~M_2~$和~M_3美元~$表示路径的起始路径数$~(0,0),~$到$~(4,4)~$始终位于$~x=y~$行，并且第一次违规发生在$~(1,1), ~(2,2),~$或$~(3,3), ~$分别是。
只要非常仔细，上一节的分析可能会背驮到本节中。
要计算~1美元~$注意，前两个动作必须是HV。现在，完成以下旅程的可能性$~(4,4),~$始终停留在$~x=y~$线是
高HVVV、HHVHV、HHVVH、HVHHV、HVHVHV。
请注意，上面的行与第一部分的计算$~N_4~$从上一节开始。
那么，你有了$~M_1=5~$
要计算~2美元~$注意，前四个动作必须是HHVV。现在，完成以下旅程的可能性$~(4,4),~$始终停留在$~x=y~$线是
HHVV、HVHV。
请注意，上面的行与计算的第一部分相匹配$~N_3~$从上一节开始。
所以，你有这个$~M_2=2~$
要计算$~M_3~$注意，前6步必须是
HHVVV或HHVVV。
然后，最后两个动作必须是HV。
所以，$~M_3=2$
因此，这部分答案的计算是
$14-（M_1+M_2+M_3）=14-（5+2+2）=5。\标签2$$
结合上面的（1）和（2），整体枚举为
14美元乘以5$$
