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$\开始组$

假设我想生成一个具有$50$行和$6$柱。该表中的每个条目都可以是来自$1$$75$包容的。我可以这样做吗(a,b)美元$($1\leq a\leq 75美元$,$1\leq b\leq 75美元$$a\neq b美元$)目前至少在一个$50$行,即,美元$十亿美元$必须出现在同一行中,如果不是,可以显示为什么吗?

这也可以推广到任何具有百万美元$行和n美元$列,具有整数项$1$美元$包容的?

我尝试了一种天真的尝试,试图将每个数字单独配对,即我将配对$1$每个数字都是第一位的。

$$\开始{数组}{|c|c|c|c|}\氯化氢1、2、3、4、5、6线1、7、8、9、10、11线1、12、13、14、15、16行\结束{数组}$$

然而,我很快就发现,事情在第二位失控了,几乎不可能管理哪些配对已经形成,哪些尚未形成。

$\端组$
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2个答案2

重置为默认值
$\开始组$

$\dbinom美元{75}2=2775$从1到75的数字对。每行中$\dbinom62=15$可以形成对。所以我们最多只能15美元\cdot 50=750$对子。

显然没有办法。

对于美元$可能的数字,百万美元$行和n美元$列,我们知道了$$\binom p2\le n\binom m2$$作为必要条件,相当于$$p(p-1)\le纳米(m-1)$$

你的“幼稚”态度似乎很好。

包含的行$1$理想情况下是不相交的,当然,保存元素1。因此,每一行都应该包含n-1美元$条款。那么应该有美元(p-1)/(n-1)$具有“1”的行。理想情况下,这个商应该是整数,以避免重复配对。

现在我们丢弃1,用2计算行数。此外,我们避免重复配对。所以我们写2和数字,它们既不在前一行也不在第一行。这意味着我们必须选择一个数字$\neq 1个$从每个具有“1”的行。这个丢弃了百万美元-1$每个步骤中的行数(第一个,和百万至2美元$对于行中的其他数字)。

现在,事情变得非常复杂。

我建议使用此算法:

INPUT:一组$p\ge 2美元$元素,数字$n\ge 1美元$行数和行数百万美元$共列。

  1. 将每个元素标记为“非浪费”。设置$p(p-1)/2$.设置n美元$.

  2. 以“非浪费”元素开始行k个。将每个“非浪费”元素设置为不同于k个作为“非丢弃”。

  3. 对于每一整行,将此行中的“非浪费”元素标记为“非丢弃”。

  4. 同时该行未满,并且还有“non-discarded”元素,请向该行追加一个“non-discarded“元素。将此元素标记为“已放弃”。设置$-1$.结束时间.

  5. 添加随机元素以填充行。

  6. 设置$-1$

  7. 如果没有“丢弃”的元素,请标记千美元$“浪费”和“丢弃”。

  8. 如果$=0$该算法是成功的,并且退出.

  9. 如果$=0$或者有美元$“浪费”元素是不可能的退出.

  10. 转至步骤2。

输出:$0$如果不可能或$1$如果不是的话。矩阵$n\倍m$如果可能的话,还有多少都是无用的。

$\端组$
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    $\开始组$ ${6\选择2}=15$吗?哪个。。。。我想这让问题变得更不可能了。 $\端组$
    – 芙蓉木
    评论 5月24日15:14
  • $\开始组$ @跳蚤血当然,谢谢你。 $\端组$ 评论 5月24日16:21
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$\开始组$

构造矩阵的一般问题百万美元$行和n美元$带有数字的列$1$美元$,使所有的数字对出现在某一行中,称为覆盖设计问题。总的来说,这是一个需要确切解决的公开问题。关于封面设计的最著名信息保存在La Jolla覆盖仓库由Dan Gordon维护。查看的条目$p=75$$n=6$(链接),我们发现可以用一个矩阵来解决您的问题,该矩阵具有$190$排。此外,众所周知,至少$188$行是必需的。

$\端组$

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