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让$c_{n,k}$表示长度循环数千美元$在完整的图形中K_n美元$.如何获得二元生成级数的闭合公式$$C(x,y)=\sum_{n,k\geq0}C_{n、k}\frac{x^ny^k}{n!}$$
我完全陷入了这个问题,因为在完整的图上似乎没有任何有趣的递归结构$\mathcal{K}$,我们可以认为$$\mathcal{K}\equiv\mathcar{E}[\mathcal{X}]$$那么我们有$$K(x)=\exp(x)$$但如何合并美元$进入我们的二元生成序列$C(x,y)$?
我用指数生成函数解决了这个问题!首先,我们需要了解我们所依赖的类/结构$y=1$在二元生成序列中,$$M(x):=C(x,1)=\sum_{n,k\geq0}C_{n、k}\frac{x^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{\infty}C_}n,k}\right)\frac}x^n{n!{$$所以$M_n=\sum_{k=0}^{n} c(c)_{n,k}$是类的系数,例如$\mathcal{M}$,只有一个周期的长度$k=3,4,\点,k$。所以我们可以有递归结构$$\mathcal{M}\equiv\mathcal{H}*\mathcale{E}[\mathcali{X}]$$哪里$\mathcal{H}$表示循环的类别,具有$$\mathcal{H}(x)=\sum_{n\geq3}\frac{(n-1)!}{2}\frac{x^n}{n!}$$ $$M(x)=H(x)\exp$$然后是公司美元$在递归关系中,我们有$$C(x,y)=H(xy)\exp$$
从评估开始$c_{n,k}$. $$c{n,k}=\开始{cases}0和k \ in \{0,1,2 \}\text{or}n<k\\\压裂{n!}{(n-k)!\cdot2k}&k\ge3\text{和}n\gek。\结束{cases}$$因此,$$\开始{align}C(x,y)&=\sum_{k\ge0}{y^k}\sum_{n\ge0}\frac{c{n,k}}{n!}x^n\\&=\sum_{k\ge3}{y^k}\sum_{n\gek}\frac{n!}{(n-k)!\cdot n!\cdot2k}x^n\\&=\frac12\sum{k\ge3}\frac{x^ky^k}k\sum_{n\gek}\frac{x^{n-k}}{(n-k)!}\\&=\frac12\sum_{k\ge3}\frac{x^ky^k}ke^x\\&=e^x\左(-\ frac{xy}2-\压裂{x^2y^2}4+\frac12\sum{k\ge1}\frac{x^ky^k}k\right)\\&=e^x\左(-\压裂{xy}2-\压裂{x^2y^2}4-\frac12\log(1-xy)\right)。\结束{对齐}$$