使用生成函数计算完整图$k_n中长度k的圈数$

Question

让$c_{n，k}$表示长度的循环次数千美元$在完整的图形中K_n美元$.如何获得二元生成级数的闭合公式$$C（x，y）=\sum_{n，k\geq0}C_{n、k}\frac{x^ny^k}{n！}$$

我完全陷入了这个问题，因为在完整的图上似乎没有任何有趣的递归结构$\mathcal{K}$，我们可以认为$$\mathcal{K}\equiv\mathcar{E}[\mathcal{X}]$$那么我们有$$K（x）=\exp（x）$$但如何合并美元$到我们的二元生成序列中$C（x，y）$?

Answer 1

我用指数生成函数解决了这个问题！首先，我们需要了解我们所依赖的类/结构$y=1$在二元生成序列中，$$M（x）：=C（x，1）=\sum_{n，k\geq0}C_{n、k}\frac{x^n}{n！}=\sum_{n=0}^{\infty}\left（\sum_{k=0}^{\infty}C_}n，k}\right）\frac}x^n{n！{$$所以$M_n=\sum_{k=0}^{n} c（c）_{n，k}$是类的系数，例如s$\mathcal{M}$，只有一个周期的长度$k=3，4，\点，k$。所以我们可以有递归结构$$\mathcal{M}\equiv\mathcal{H}*\mathcale{E}[\mathcali{X}]$$哪里$\mathcal{H}$表示循环的类别，具有$$\mathcal{H}（x）=\sum_{n\geq3}\frac{（n-1）！}{2}\frac{x^n}{n！}$$ $$M（x）=H（x）\exp$$然后是公司美元$在递归关系中，我们有$$C（x，y）=H（xy）\exp$$

Answer 2

从评估开始$c_{n，k}$.
$$c{n，k}=\开始{cases}0&k\in\{0,1,2\}\text{或}n<k\\\压裂{n！}{（n-k）！\cdot2k}&k\ge3\text{和}n\gek。\结束{cases}$$因此，$$\开始{align}C（x，y）&=\sum_{k\ge0}{y^k}\sum_{n\ge0}\frac{c{n，k}}{n！}x^n\\&=\sum_｛k\ge 3｝｛y^k｝\sum_｛n\ge k｝\frac｛n！｝｛（n-k）！\cdot n！\cdot 2k｝x^n\\&=\frac12\sum{k\ge3}\frac{x^ky^k}k\sum_{n\gek}\frac{x^{n-k}}{（n-k）！}\\&=\frac12\sum_{k\ge3}\frac{x^ky^k}ke^x\\&=e^x\左（-\ frac{xy}2-\压裂{x^2y^2}4+\frac12\sum{k\ge1}\frac{x^ky^k}k\right）\\&=e^x\左（-\压裂{xy}2-\压裂{x^2y^2}4-\frac12\log（1-xy）\right）。\结束{对齐}$$