你的上限是最好的，渐进的。我会告诉你如何在什么时候达到你的极限$n=4^k$，对于一些$k\in\mathbb N$.之后，我给出了一些与其他引用有关的引用n美元$.
首先，考虑一个更难的问题。条件$|A\cap B|\le 1美元$意味着每对元素X美元$最多出现在一个子集中。对于其中n美元$我们能找到一个家庭吗$4$-元素子集X美元$这样，每对元素X美元$一起出现在确切地一个子集？这样的家庭被称为平衡不完全区组设计，并表示为$\mathrm{BIBD}（n，4,1）$.这里的块数必须是$\binom美元{n} 2个/\二进制数{4}2$，因此此设计可以最佳地解决您的问题。
引理：对于所有人$n\in\mathbb n$，如果是$\mathrm{BIBD}（n，4,1）$存在，然后$\mathrm{BIBD}（4n，4,1）$存在。
证明： $\newcommand\s{\spadesuit}\新命令｛\h｝｛\heartsuit｝\新命令{\c}{\clubsuit}\新命令{\d}{\diamondsuit}$让$\mathcal B公司$是大小的集合-$4$的子集【n】美元$。我将演示如何构造集合$\mathcal C美元$大小为-$4$的子集$\{\s，\h，\c，\d\}\次[n]$。为此，我将使用一对正交拉丁方L美元$和百万美元$侧面宽度的n美元$.这样一个百万美元$ 存在为所有人n美元$除了$2$和$6$，但一个$\mathrm{BIBD}（n，4,1）$当$n\in\{2,6\}$无论如何。
对于每个$B\in\mathcal B$,$\mathcal C美元$包含集合$B\times\{\s\}、B\times \{h\}和B\time\{c\}$、和$B\次\{\d\}$此外，对于每个$i，j\英寸[n]$,$\mathcal C美元$包含集合$$\{（\ s，i），（\ h，j），（\c，L_{i，j}）$$您可以使用正交拉丁方的定义来表示$\{\s，\h，\c，\d\}\次[n]$恰好出现在所描述的集合之一中。$\tag*｛$\square$｝$
现在，通过反复应用这个引理，可以得到一个$\mathrm{BIBD}（4^k，4,1）$对所有人都存在$k\in\mathbb N$因此$\binom n2/\binom 42美元$经常可以无限地实现。
事实上，该界限在加性因子范围内是正确的。如CRC组合设计手册（定理$40.12$)，对于所有人$n\ge 4美元$,$$\存在\mathcal F:\quad |\mathcall F|\ge\left\lfloor\frac{n}{4}\left\floor\frac{n-1}三\right\rfloor\right\rploor-3。$$然而，证明这一点的结构相当复杂，所以我不会在这里展示它们。对于以下情况下的结构$n\等于1$或$4\pmod{12}$，参见下文引用的Hannani的论文。在这些情况下，Hanani构建了一个$\mathrm{BIBD}（n，4,1）$最后，您可能对下面的Rodl论文感兴趣，该论文展示了如何实现$（1+o（1））\cdot\binom{n} 2个/\二进制数{4}2$使用概率方法。
Charles J.Colbourn和Jeffrey H.Dinitz。2006.组合设计手册，第二版（离散数学及其应用）。查普曼和霍尔/CRC。
H.Hanani，平衡不完全块设计和相关设计，离散数学。11(1975) 255–369.https://doi.org/10.1016/0012-365X(75)90040-0
Vojtěch Rödl，关于包装和覆盖问题，欧洲组合数学杂志，第6卷，第1期，1985年，69-78，ISSN 0195-6698，https://doi.org/10.1016/S0195-6698(85)80023-8.
