凯利定理证明的基本恒等式

Question

我正在学习图论，突然想到一个问题。

凯利定理的证明（如威尔逊的《图论导论》第69页）有点清楚，我只是不明白为什么最后一个等式成立（这应该很容易，因为它在任何地方都没有解释过）。WolframAlpha也证实了其有效性。具体如下：$$\sum_{k=1}^{n-1}（n-1）^{-k+n-1}\binom{n-2}{k-1}=n^{n-2{$$正文给出中间一段$\{（n-1）+1\}^{n-2}$谁能启发我？

Answer 1

中间一段暗示你应该认识到左边的表达式是二项式定理的一个例子。

Answer 2

这看起来像是二项式定理的一个非常简单的应用。对于自然数N美元$，我们有$$\sum_{i=0}^N\binom{N}{i}x^{N-i}年^i=（x+y）^N$$如果我们设置$N=N-2$,$x=n-1$、和$y=1美元$，我们得到$$\和{i=0}^{n-2}\binom{n-2{i}（n-1）^{n-2-i}\cdot 1^i=（（n-1$$现在通过设置$k=i+1$.我们得到$$n^{n-2}=\sum{k=1}^{n-1}\binom{n-2{k-1}（n-1）^{n-2-（k-1）}=\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n-2}{k-1}（n-1）^{-k+n-1}$$