为什么双重随机矩阵很重要？

Question

我对双重随机矩阵的概念感到困惑。

这是我的理解。

• 双随机矩阵：非负数的平方矩阵，其中每行和每列的总和为1。$$A=[A{ij}]\quad\text{这样}\quad A{ij}\geq 0，\quad_sum{i}A{iij}=1，\quad\text{和}\ quad\sum{j}A{ij}=1\quad_对于所有i，j$$

下面是一个示例：

$$P=\开始{pmatrix}0.2 & 0.5 & 0.3 \\0.4 & 0.1 & 0.5 \\0.4 & 0.4 & 0.2\结束{pmatrix}$$

• 非双随机矩阵：非负数字的平方矩阵，其中每一行和每一列不需要求和为1。

$$A=[A{ij}]\quad\text{这样}\quad A{ij}\geq 0，\quad_text{和}\quad_ sum_{i}A{iij}=1\quad$$

以下是一个示例（注意：马尔可夫链的转移矩阵不一定是双重随机的）：

$$P=\开始{pmatrix}0.2 & 0.5 & 0.3 \\0.4 & 0.1 & 0.5 \\0.3&0.3&0.4结束{pmatrix}$$

基于此-我的问题：

为什么双随机的这种区别更值得注意？例如，双随机矩阵是否具有一些特殊性质，使其在某些情况下更适用/有用？

Answer 1

马尔可夫链的应用：不可约非周期有限马尔可夫链的平稳分布是一致的当且仅当其转移矩阵是双重随机的。