众所周知 $\left\{\sin\left（n\right）\right\}$ 和 $\left\{\cos\left（n\right）\right\}$ 是发散序列。 最近我遇到了一个问题，我需要证明 $\cos\left（n！\right）$ 有分歧。 然而，经过处理，我意识到这是一个特殊的问题 $\cos\left（x\pin！\right）$ ：如果 $x=1/\pi$ ，然后我会得到 $\left\{\cos\left（n！\right）\right\}$ . 现在，很容易看出这一点 $\left\{\cos\left（x\pin！\right）\right\}$ 是一个收敛的序列，收敛到 $1$ 如果 x美元$ 是一个有理数。 但是，我仍然无法证明 $\left\{\cos\left（x\pin！\right）\right\}$ 非理性的分歧 x美元$ . 我知道这足以证明 $x\ in\ left（0,1\ right）$ .
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4 $\开始组$ 例如，如果$x=2e$，序列$\cos（\pi x n！）$收敛到$1$ $\端组$ – 康拉德 评论 5月23日3:03 -
$\开始组$ 哦！ 怎么用？ 你能详细说明一下吗？ $\端组$ – 亚提 评论 5月23日3:06 -
5 $\开始组$ 只需写$e=\sum 1/k！$ 那么2美元= 2m_n+O（1/n）$so$\cos（2\pi-en $\端组$ – 康拉德 评论 5月23日3:12 -
$\开始组$ 哦！ 真 的！ 我从未想过有人会朝这个方向思考。 我不太擅长处理“O”符号。 然而。 我能理解。 如果我没有错的话，你的论点完全依赖于这样一个事实：序列$a_n=\sum\limits_{k=1}^{infty}\frac{1}{（n+1）（n+2）\dots（n+k）}$指向$0$作为$n\to\infty$，它清楚地显示为$0<a_n\leq\frac}{n}到0$作为$到0$。 不是吗？ $\端组$ – 亚提 评论 5月23日11:08 -
$\开始组$ 正确-但可以用类似的序列替换$e$-例如$\sum a_n/n！$ 其中$an$积分（偶数），有界和无穷多个非零，所以我们没有得到有理数等-因此有很多$x$发生收敛； 一个更好的问题是，对于余弦，我们是否可以收敛到$1$以外的任何值（或者潜在的$-1$，因为我们可以安排所有的偏和都是奇数），对于正弦，我们是否可以收敛到$0$以外的任何值 $\端组$ – 康拉德 评论 5月23日12:29