对称三对角矩阵特征向量的求法

Question

有几个问题与这个主题有关，但只考虑了特征值，那么特征向量呢？考虑到我们已经$$T（吨）=\左（\开始{数组}{ccccc}a&b&0&\ldots&0\\b&a&b&&\ldot\\0&b&a&\ldots&0\\\cdots&&\cdots＆&b\\0&\ldots&0&b&a\结束{数组}\右）$$我已经根据这个找到了这个矩阵的特征值纸张，但我不知道如何找到特征向量，你能帮我吗？谢谢您

Answer 1

假设$b\neq 0美元$，特征向量与美元$和十亿美元$并由提供$v_k=（v_{k1}，…，v_{kn}）$，其中$v_{kj}=\sin（\pi-kj/（n+1））$.给，n美元$是矩阵的大小$k=1\点，n$。可以使用三角恒等式进行检查$v{k，j−1}+v{k、j+1}=2\cos（πk/（n+1））v{kj}$.这对$j=1$和$j=n$如果我们定义$v_{k，0}=v_{k，n+1}=0$.然后得出相应的特征值为$a+2b\cos（\pi k/（n+1））$.