k次多项式函数如何等于n次插值（当n大于k时）[闭合]

Question

让$f∈∏_k$（所有次多项式的集合千美元$最后）和$x_0，x_1，…，x_n$是节点，以便$k≤n$.证明这一点$$P_n（x）=f（x）$$在哪里？$P_n$是的插值函数$f美元$.

Answer 1

我们想展示$$f（x）=P_n（x）$$或者换句话说$$E（x）=0$$我们知道$$E（x）=（x-x_0）（x-x_1）。。。（x-x_n）f[x_0，x_1，…，x_n，x]\>，x\在I中[x_0,x_1…，xn]$$还有$$f[x_0，x_1，…，x_n，x]=\压裂{{f}^{n+1}（\theta_n）}{（n+1）！}$$哪里I中的$\theta_n[x_0，x_1，…，x_n]$.

另一方面，我们知道$f\in\Pi_k（_k）$和$k\leq n美元$因此$$｛f｝^｛n+1｝（x）=0$$至少$E（x）=0$，因此判断是固定的。