关于Radon-Nikodym定理应用于计数测度的困惑

Question

对不起，我只是需要有人来澄清我的困惑。

让$（X，\mathcal{F}，\mu）$是任何度量空间，并让$\#$正在计数X美元$.我们有$$\#（A）=0\表示|A|=0\表示A=\emptyset\implies\mu（A）=0$$

因此，我们得到$\mu\ll美元\#$Radon-Nikodym定理给出了一个函数$f美元$这样的话$$\mu（A）=\int_A\\mathrm｛d｝\#$$然而，如果$\亩$勒贝格措施实施了吗$\mathbb{R}$，然后$$0=\mu（\mathbb{Q}）=\int_{\mathbb2{Q}}\\mathrm{d}\#=\#（\mathbb{Q{）=\ infty$$

我做错了什么？

Answer 1

Radon-Nikodym定理要求测量美元\西格玛$-有限的。你发现的是一个例子，它表明假设是至关重要的，因为计数方法不是美元\西格玛$-在任何不可数集上是有限的。在可数集上，勒贝格测度为零，因此RN导数为零。