当给定$S^2$作为分母为$n$而不是$（n-1）$的样本方差时，$\operatorname{Var}（S^2）$的值是多少？

Question

起初，这看起来是一项简单的任务，从方差的常用表达式开始，例如：$\运算符名称{Var}（S^2）=E（S^4）-（E（S|2））^2$。在此，我想再次定义$S^2=压裂{\sum_1^n（X_i-\bar X）^2}{n}$

$\operatorname{Var}（S^2）=E（S^4）-（E（S|2））^2=E（S ^4）-\frac{（n-1）^2}{n^2}\sigma^4$

现在，我需要评估$E（S^4）$，这对我来说很有挑战性。我的想法如下：

$E（S^4）=E（（（分形{1}{n}\sum_i^n（X_i-\bar X）^2）^2$然后我迷路了。。。

Answer 1

我会假设$X_i$是IID，具有有限的第四矩。请注意

\开始{align*}S^2=\压裂{1}{n}\sum_{i=1}^{n}。\结束{align*}

根据这个公式，我们可以替换$X_i-\mu$是由$X_i$的，因此可以假设$X_i$的平均值为零，但不失一般性。然后

\开始{align*}\矩阵{E}[S^4]&=\mathbf{E}\biggl[\biggl（\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-\overline{X}^2\biggr）^2\biggr]\\&=\mathbf{E}\biggl[\frac{1}{n^2}\sum_{i，j}X_i^2 X_j^2-\frac}{n}\sum_i X_i|2\上划线{X}^2+上划线{X}^4\biggr]\\&=\mathbf{E}\biggl[\frac{1}{n^2}\sum_{i，j}X_i^2 X_j^2-\frac}{n_3}\sum_{i，j，k}X_ i^2 X_j X_k+\frac[1}{n_4}\sum_c{i，j，k，l}X_i X_j X_ l\biggr]。\结束{align*}

用线性分布期望值，剩下的是一堆形式的线性组合项$\mathbf{E}[X_{i_1}^{a_1}X_{i_2}^{a_2}\cdots]$相互区别的$i_1、i_2、\ldot$和$a_1+a_2+\cdots=4$独立性告诉我们

$$\mathbf{E}[X_{i_1}^{a_1}X_{i_2}^{a_2}\cdots]=\mathbf{E}[X_}i_1}^{a_2}]\mathbf1}E}[X_{i_2}^}a_2}]\cdots$$

特别是，如果至少有一个$ak（_k）$的是$1$这大大减少了扩展中出现的术语数量。事实上，唯一的元组$（a_1，a_2，\ldots）$可能导致非零项为$(2, 2)$和$(4)$.因此

\开始{align*}\矩阵{E}[S^4]&=\frac{1}{n^2}\sum_{i}\mathbf{E}[X^4]+\frac{1{n^2]\sum_{i\neqj}\mathbf{E{[X^2]^2\\&\四边形\\frac{2}{n^3}\sum_{i}\mathbf{E}[X^4]-\frac{2]{n^3}\sum_{i\neqj}\mat血红蛋白{E}[X^2]^2\\&\quad+\frac｛1｝｛n^4｝\sum_｛i｝\mathbf｛E｝[X^4]+\frac｛3｝｛n^4｝\sum_｛i\neq j｝\mathbf｛E｝[X^2]^2\\&=\frac{1}{n^2}\cdot n\mathbf{E}[X^4]+\frac}{n|2}\cd otn（n-1）\mathbf{E}[X^2]^2\\&\四边形-\frac{2}{n^3}\cdot n\mathbf{E}[X^4]-\frac{2}{n^3}\cdotn（n-1）\mathbf{E}[X^2]^2\\&\四边形+\frac{1}{n^4}\cdot n\mathbf{E}[X^4]+\frac{3}{n ^4}\cdot n（n-1）\mathbf{E}[X^2]^2\\&=\frac{n（n-1）^2}{n^4}\mathbf{E}[X^4]+\frac{n（n-1）（n^2-2n+3）}{n*4}\mathbf{E}[X*2]^2。\结束{align*}

为了完成计算，请注意$\mathbf{E}[S^2]=\frac{n-1}{n}\mathbf{E}[X^2]$（回想一下，我们仍然假设$X_i$的居中。否则，此公式应为$\mathbf{E}[S^2]=\frac{n-1}{n}\mathbf{Var}（X）$.）将其插回，

\开始{align*}\矩阵{Var}（S^2）&=\mathbf{E}[S^4]-\mathbf{E}[S^2]^2\\&=\frac{n（n-1）^2}{n^4}\mathbf{E}[X^4]+\frac{n（n+1）（n^2-2n+3）}{n*4}\mathbf{E}[X*2]^2-\frac}n^2（n-1\\&=\压裂{n（n-1）^2}{n^4}\mathbf{E}[X^4]-\frac{n（n-1）（n-3\\&=\frac{（n-1）^2}{n^3}\mu_4（X）-\frac}。\结束{align*}

使用样本方差$\hat{S}^2=\frac{n}{n-1}S^2$，此公式通常以以下形式表示

$$\mathbf{Var}（\hat{S}^2）=\frac{n^2}{（n-1）^2}\mathbf{Var}（S^2）=\压裂{1}{n}\biggl（\mu_4（X）-\压裂{n-3}{n-1}\mu_2（X）^2\biggr）$$

看见这例如。