概率问题要求我们掷硬币n美元$次数（实际上$100$每次有HH美元$只要有泰铢（$THT）$或aTTT美元$谁更有可能获胜？
[例如，考虑以下顺序美元THHHTHTTTT$。此序列给出$2$指向ALice和$3$指向鲍勃。]
使用（两个单独的）马尔可夫链和矩阵乘法（在计算机上完成），我们发现爱丽丝更有可能获胜（爱丽丝获胜$622452888834764723839990461444$鲍勃获胜的次数$597223930770097681231606561162$当我们有$100$抛掷）。我们为其他几个人尝试过n美元$图中显示，爱丽丝总是更有可能获胜。
我们使用递归解决方案（也使用计算机）验证了这个答案，因此我们相信答案是正确的。
所以我们试图通过分析概率的生成函数来实现这一点。我们表示为$p_{n，k，TT}=\mathbb p（X_n=k|Y_{n-1}=T，Y_n=T）$哪里$X_i$是Alice和Bob在1美元$-第次掷骰子Y_j美元$代表$j美元$-第次掷骰子。同样，我们定义$p_{n，k，TH}，p_{n，k，HT}，p _{n，k，HH}$。产生的递归如下：$$\开始{align}p_{n，k，TT}&=frac12（p_{n-1，k+1，TT}+p_{n-1，k，HT}）\\p_{n，k，TH}&=frac12（p_{n-1，k，HT}+p_{n-1，k，TT}）\\p_{n，k，HT}&=frac12（p_{n-1，k+1，TH}+p_{n-1，k，HH}）\\p_{n，k，HH}&=frac12（p_{n-1，k-1，TH}+p_{n-1，k-1，HH{）\\\结束{对齐}$$我们定义了生成函数$\varphi_n（z）=\sum_k\mathbb P（X_n=k）z^k$并定义$\varphi_{n，TT}（z），\varphi_n，TH}$作为各自的条件生成函数。再加上适当的基本情况$$\varphi_n（z）=开始{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatricx}\frac1z&0&1&0\\1 & 0 & 1 & 0\\0&\frac1z&0&1\\0&z&0&z\结束{bmatrix}^{n-2}\开始{bmatrix}1\\1\\1\\z\end{bmatrix}$$
现在意识到这一点$$\mathbb P（\text{Bob获胜}）={\frac1{2\pii}}\int_C\left（\sum_{k<0}z^{-k-1}\right）\varphi_n（z）dz$$
$$\mathbb P（\text{Alice获胜}）={frac1{2\pii}}\int_{C'}\left（\sum_{k>0}z^{-k-1}\right）\varphi_n（z）dz$$以获得合适的轮廓$C，C'$我们稍后定义。做一些复杂的分析魔术，我们得到$$\mathbb P（\text{Alice中奖}）-\mathbbP（\text{Bob中奖}）={\frac 1{2\pii}}\int_C{\frac{\varphi_n（z^{-1}）-\varphi_n（z）}{1-z}}~\mathrm dz$$哪里C美元$轮廓是否令人满意$\max\{|z|：z\在C\}<1中$并且包含原点在内（半半径圆应该有效）。
现在我们想证明这个积分大于$0$为所有人$n\geq3（美元）$但真的卡住了。我们尝试对角化矩阵以理解$\varphi_n（z）$但这太可怕了。
感谢您的任何帮助。
