非紧流形中的保体积向量场

Question

让美元（百万，克）$是一个完备的、连通的、有向的非紧黎曼流形。如果百万美元$是紧凑的，然后是向量场X美元$当其关联流时称为volume-preserving$\phi:M\times\mathbb{R}\到M$,$φ（x，t）$，具有此属性，即，当

$$\operatorname{vol}\phi（A，t）=\operator名称{vol}A$$

保持所有可测量$A\子集M$和$t\in\mathbb{R}$，其中$\运算符名称{vol}$表示的体积元素美元（百万克）$如何定义非紧流形的类似概念？我们需要假设向量场是有界的，所以它们是完整的吗？如果我们使用一般向量场，我们能把它强加给它吗美元$上面有界且可测吗？

什么是“最佳”/“更合适”的定义？假设这一步，对于给定的完整的、连通的、定向的、非紧的向量场集，我们能说些什么呢美元（百万克）$?

附言：我知道无发散向量场是体积守恒的，至少对于紧流形是这样。对于完全非紧流形呢？

Answer 1

我们可以通过无限小地处理计算来避免流在点之间定义不一致的问题。对于任何具有体积形式的流形（紧凑或现在）$\Ω$，向量场的局部流X美元$保存$\欧米茄$当且仅当$\mathcal L_X\omega=0$，这同样相当于X美元$，作为散度算子，$\运算符名称{div}$，其特征是$\mathcal L_X\omega=（\operatorname{div}X）\omega$.

在本地，我们总是可以选择坐标$（x^1，\ldot，x^n）$这样体积就形成了$\欧米茄$具有坐标表示$\widehat\omega=x^1\wedget\cdots\wedge x^n$在这些坐标中，散度的形式与标准坐标中欧几里德体积形式的散度形式相同：$\operatorname{div}（F^i\partial_{x^i}）=\partial{x^i}F^i$，其中爱因斯坦求和约定生效。因此，局部的卷保存向量场由$n-1美元$的功能n美元$变量和$1$的函数$n-1美元$变量。