亚高斯范数

Question

考虑以下定义美元\西格玛$-亚高斯随机变量：

$$\mathbb{E}\exp\left（\lambda\ left（X-\mathbb{E}\ left[X\right]\ right）\ right（\frac{\lambda{2}\ sigma^{2}}{2}\right）$$

我需要证明以下函数是中心次高斯随机变量空间上的范数：

$$\|X\|_{vp}=\min\left\{\sigma\，|\，\text{X是$\sigma$-亚高斯}\right\}$$

我不知道如何处理“最小”方面。例如，为了显示同质性，我可以显示Cx美元$是$\左|C\右|\西格玛$-亚高斯，但我不知道该如何证明它是最小值：

$$\mathbb{E}\left[\lambda\left（CX\right）\right]=\mathbb{E}\ left[\ left（C\lambda \right$$

对于正定性，我尝试使用Jensen不等式得到它$\mathbb{E}\left[\exp\left（\lambda X\right）\right]=1$，但我不确定我能据此得出结论$X=0美元$答：

$$1=\exp\左（\mathbb{E}\left[\lambdaX\right]\right）\overset{}{\leqsleat}\mathbb{E}\ left[\ exp\left（\lambda X\right^{2}0^{2} ｛2｝\右）=1$$

还有一个三角形不等式的性质，我也不知道如何处理。

Answer 1

对于任何中心随机变量X美元$，让$\Sigma（X）=\{\Sigma\geq 0:X\text{is}\Sigma\text{亚高斯}\}$因此，$\|X\|_{vp}=\inf\Sigma（X）$.

让我们从积极明确开始。考虑随机变量$X=0$a.s.因此，$\exp（\lambda X）=1$适用于所有人的a.s$\lambda\in\mathbb{R}$因此，\开始{align*}\mathbb{E}[\exp（\lambda X）]=1。\结束｛align*｝因为所有人美元\sigma\geq 0$和$\lambda\in\mathbb{R}$,$1\leq\exp（\lambda^2\sigma^2/2）$,美元\西格玛（X）$是一组非负实数。因此，$\|X\|_{vp}=0$.

让我们转向同质性。让$s\in\mathbb{R}$和X美元$是一个中心次高斯随机变量。让$Y=sX$显然，Y美元$也是一个中心随机变量。此外，对所有人来说$\lambda\in\mathbb{R}$和$\sigma\in\sigma（X）$,\开始{align*}\mathbb{E}[\exp（\lambda Y）]=\mathbb}E}[\ exp（\ lambda sX）]\leq\exp\left（\frac{\lambda^2s^2\sigma^2}{2}\right），\结束｛align*｝其中最后一个关系来自X美元$应用了$\lambda'=\lambda s$因此，对于所有人来说$\sigma\in\sigma（X）$,$|s|\sigma\in\sigma（Y）$.考虑$\sigma\notin\sigma（X）$。这意味着存在$\lambda_0\in\mathbb{R}$这样的话\开始{align*}\mathbb{E}[\exp（\lambda_{0}X)]>\exp\left（\frac｛\lambda_0^2 \sigma ^2｝｛2｝\right）。\结束｛align*｝这也意味着存在$\lambda_1=\lambda _0/s\in\mathbb{R}$这样的话\开始{align*}\mathbb｛E｝[\exp（\lambda_{1} Y（Y）)]=\mathbb{E}\left[\exp\left（\frac{\lambda_{1}}{s}\cdot（sX）\right）\right]=\mat血红蛋白{E}[\exp（\lambda_{0}X)]>\exp\left（\frac{\lambda_0^2\sigma^2}{2}\right）=\exp\ left（\frac{\lampda_1^2（s\sigma）^2}{2}\ right）。\结束｛align*｝因此，对于每个$\sigma\notin\sigma（X）$,$|s|\sigma\notin\sigma（Y）$。仅考虑以下情况就足够了：$|s美元|$因为我们只考虑非负值美元\西格玛（W）$对于任何中心随机变量美元（W）$因此，$\Sigma（Y）=\{|s|\Sigma:\Sigma \in\Sigma-（X）\}$。因此，$\|Y\|_{vp}=|s|\cdot\|X\|{vp{=|sX\|_vp}$.

对于三角形不等式的条件，让X美元$和Y美元$是双中心随机变量。很明显$X+Y$也是一个中心随机变量。此外，让$p，q>0$这样的话$\frac｛1｝｛p｝+\frac｛1｝｛q｝=1$.面向所有人$\lambda\in\mathbb{R}$,$\sigma_1\in\sigma（X）$和西格玛中的$\sigma_2\（Y）$，我们有，\开始{align*}\mathbb{E}[\exp（\lambda（X+Y）\\&\leq\left（\mathbb{E}[\exp（p\lambda X）]\right）^{\frac{1}{p}}\cdot\left\\&\leq\left（\exp\ left（\ frac{p^2\lambda^2\sigma_1^2}{2}\ right）\right）^{\frac{1}{p}}\cdot\left\\&\leq\exp\left（\frac{\lambda^2（p\sigma_1^2+q\sigma_2^2）}{2}\right）。\结束｛align*｝在第二步中，我们使用了霍尔德不等式。如果我们选择$p=1+\frac｛\sigma_2｝｛\sigma_1｝$，然后$q=1+\压裂{\西格玛_1}{\西格玛_2}$因此，\开始{align*}\mathbb｛E｝[\exp（\lambda（X+Y））]\leq\exp\left（\frac｛\lambda^2（\sigma_1+\sigma_2）^2｝｛2｝\right）\结束｛align*｝这意味着西格玛中的$\西格玛_1+\西格马_2\（X+Y）$因此，$\Sigma（X+Y）\supseteq\{\Sigma_1+\Sigma_2:\Sigma（X）中的\Sigma-1\$.因此\开始{align*}\inf\西格玛（X+Y）\leq\inf\Sigma（X）+inf\Sigma（Y），\结束｛align*｝或同等标准，$\|X+Y\|{vp}\leq\|X\|{vp}+\|Y\|}$，根据需要。