Kummer曲面的标准因子

Question

我想证明Kummer曲面是K3，所以首先，我想集中讨论正则除数K_X美元$。只需修复一些符号：美元$是形式复杂的圆环体$\mathbb{C}^2/\Gamma$，其中$\伽马射线$是四级格子。$\epsilon:\波浪号｛A｝\右箭头A$是的爆炸美元$在渐开线固定的16个点中$\tau:x\mapsto-x$.$E_i:=\epsilon^{-1}（P_i）$是对应于扭点的排除因子$P_i$.$\iota:\波浪线{A}\rightarrow\tilde{A}$是电梯美元\套$和$f:\tilde{A}\rightarrow\tilde}A}/\iota=：X$是Kummer曲面的商映射X美元$.

现在我要遵循Huybrechts的论点“K3曲面讲座”（第3页），其中使用了有关分支覆盖物正则束计算的一些结果（它们可以在Barth、Hulek、Peters、Van de Ven中找到“紧凑复杂曲面”第I.16节）。

爆破公式$\epsilon:\波浪线{A}\rightarrow A$对于分支覆盖层$f:\波浪线{A}\rightarrow X$给$$K_{\tilde{A}}=\mathcal{O}（\sumE_i），\，\，，\，K_{\tilde{A{}}=f^*K_X\otimes\mathcal{0}（\sumE_i）$$所以$$f^*K_X=\mathcal{O}（O）_\波浪线{A}$$打电话$\上划线{E_i}\子集X$排除除数的象$E_i（美元）$通过$f美元$，我们有关系$$f^*\mathcal{O}（\overline{E_i}）=\mathcal{O}（2E_i）$$我们也知道$$f_*\mathcal美元{O}（O）_{\tilde{A}}=\mathcal{O} X（_X）\oplus L^*、$$哪里L美元$是的平方根$\mathcal{O}（\sum\overline{E_i}）$

我现在该如何结束？

Answer 1

这不是一个自足的答案。但我希望这能有所帮助。

我们有一个投影公式$$f_*f^*K_{X}=K_{X}\otimes f_*\mathcal O_{\tilde A}=K_ X\otimes\left（\mathcar O_X\oplus L^\vee\right）$$但既然我们知道$f^*K_X=\mathcal O_{\tilde A}$和$f_{*}\mathcal O_{\tilde A}=\mathcar O_X\oplus L^\vee$，我们最终$$\mathcal O_X\oplus L^\vee\cong K_X\otimes（\mathcar O_X\oplus L*\vee）=K_X\ oplus\left（K_X\times L^\vere\right）$$从这里开始，我们想说K_X美元$是微不足道的。考虑决定因素，我们得到$K_X^2美元$是微不足道的，这不是我们想要的。

相反，我引用了相干带轮的Krull-Schmidt定理（参见https://en.wikipedia.org/wiki/Krull–施密特类别或向量束的Krull-Schmidt-Remak)这让我要么$K_X\cong\mathcal O_X$或$K_X\cong L^\vee（美元）$在第二种情况下$K_X^2美元$不是小事，这是一个矛盾。

所以$K_X\cong\mathcal O_X$这就是我们想要的。