我需要证明以下结果：
假设$1\leq p_1<p_2<+\infty$和$\亩$那么，这是一个有限的度量$\mathscr{L}^{p_2}$.
以下是我的尝试：
让$f\in\mathscr｛L｝^｛p_2｝（X，\mathscr｛A｝，\mu）$.然后$f美元$是一个$\mathscr{A}$-可测量的功能，以便$|f|^{p_2}$是可积的。所以$\int（|f|^{p_2}）^+d\mu=\int|f||^{p2}<+\infty$。对于x美元$在里面X美元$那个$|f（x）|\geq1$，我们有$|f（x）|^{p_1}\leq|f（x）|^}p_2}$。对于x美元$在里面X美元$这样的话$0\leq|f（x）|<1$，我们有$|f（x）|^{p_1}<1$.定义函数$克$通过出租\开始{align*}g（x）=\开始{cases}f（x）\quad&\text{if$|f（x）|\geq1$}\\\\1\quad&\text{if$0\leq|f（x）|<1$}。\结束{cases}\结束｛align*｝然后$|f（x）|^{p_1}\leq|g（x）^{p_2}$为所有人x美元$在里面X美元$.定义函数$小时$通过出租\开始{align*}h（x）=\开始{cases}f（x）\quad&\text｛if$|f（x）|\geq1$｝\\\\0\quad&\text{if$0\leq|f（x）|<1$}。\结束{cases}\结束｛align*｝然后$g（x）=h（x）+\chi_｛A｝$，其中$A=\{x\在x:0\leq|f（x）|<1\}中$、和$|g（x）|^{p_2}=|h（x）| ^{p_2}+\chi_{A}$为所有人x美元$在里面X美元$.
我们证明了这一点$|h|^{p_2}$是$\mathscr｛A｝$-可衡量的。对于每个$t\geq1美元$，集合$\{x\在x:|h（x）|<t\}=\{x\in x:|f（x）|<t\}\in\mathscr{A}$，因为$|f美元|$是可积的，所以$\mathscr{A}$-可衡量的。对于每个$t<1$，集合$\{x\在x:|h（x）|<t\}=\{x\in x:|f（x）|<s\}\in\mathscr{A}$对一些人来说$x\in\mathbb｛R｝$因此，$|小时|$是$\mathscr{A}$-可测量（和实际价值），等等$|h|^{p_2}$是$\mathscr{A}$-可衡量的。
自$|h|^{p_2}$和$|f|^{p_2}$都是非负实值$\mathscr{A}$-可测量的功能，以便$|h（x）|^{p_2}\leq|f（x）^{p_2}$在每个位置保持x美元$在里面X美元$，因此$\int|h（美元）|^{p2}天\mu\leq\int|f|^{p2}天\mu<+\英尺$所以，$|h|^{P_2}$是可积的。自$\亩$是可测空间上的有限测度$（X，\mathscr{A}）$，因此$\int\chi美元_{A} d日\mu=\mu（A）<+\infty$等等$\chi_{A}$是可积的。因此，$整数|克|^{p2}天\mu=\int（|h|^｛p_2｝+\chi_｛A｝）d\mu=\int|h|^{p2}天\mu+\int\chi_{A} d日\mu<+\英尺$.自$|f|^{p_1}$和$|g|^{p_2}$是非负实数$\mathscr{A}$-上的可测量函数X美元$这样的话$|f（x）|^{p_1}\leq|g（x）^{p_2}$在每个位置保持x美元$在里面X美元$，我们有\开始{align*}\整型|f|^{p1}天\mu\leq\int|g|^{p2}天\mu<+\英尺。\结束｛align*｝因此，$|f|^{p_1}$是可积的，$f\in\mathscr{L}^{p_1}（X，\mathscr{A}，\mu）$.
我的尝试正确吗？我对证明的部分没有信心$|h|^{p_2}$是$\mathscr{A}$-可测量（例如，“每个$t<1$，集合$\｛x\ in x:|h（x）|<t\｝=\｛x\ in x:|f（x）|<s\｝\ in \mathscr｛A｝$对一些人来说$x\in\mathbb{R}$“）。我也不确定其他地方是否有错误。如果有人能帮我检查一下我的证明，我将不胜感激！非常感谢！
定义$\四元$让$（X，\mathscr{A}，\mu）$成为一个度量空间，并让美元$满足$1\leq p<+\infty美元$.然后$\mathscr{L}^p（X，\mathscr{A}，\mu）$是全部的集合$\mathscr{A}$-可测量函数$f美元$这样的话$|f|^p美元$是可积的。
参考：
示例3.3.5来自测量理论唐纳德·科恩。
