张量表示法中的指数置换

Question

我可能有一个愚蠢的问题。不知怎么的，张量表示法经常让我感到困惑。假设我们有以下等式：$$f_{ijk}＝g_{ijml}\epsilon_{mlk}$$这是否意味着$g{ijml}=-g{ijilm}$? 排列列维-西维塔符号的两个索引会引入负号，因为这些索引百万美元$和1美元$不要出现在方程的LHS上，那么很明显，这个排列对RHS没有影响。我认为总和应该按照设计正确执行，即指数百万美元$出现而不是百万美元$，还必须排列中的索引$g_{ijml}$，因此$g{ijml}=-g{ijilm}$? 就我的具体情况而言，我有点惊讶于1美元=百万$系数为零，但我想那是另一回事。

Answer 1

你的问题不太清楚。

您可以将张量分为对称和非对称部分：

$$\开始{align}a{ijml}&=\左（g{ijml}+g{ij lm}\右）/2\\b{ijml}&=\左（g_{ijml}-g_{ijlm}\右）/2\\g{ijml}&=a{ijml}+b{ijml}\结束{对齐}$$

然后您将得到：$$g{ijml}\epsilon{mlk}=b{ijml}\epsilon{mlk}=f{ijk}$$

所以你的$f_{ijk}$只取决于$克$就最后两个指数的交换而言，这是不对称的。