证明$o（H\cap K）=\gcd（o（H），o（K））$。[已关闭]

Question

让H美元$和千美元$是有限循环群的子群$G$然后$|H\cap K|=\gcd（|H|，|K|）$.
*同样的问题已经在这个平台上提出了在这里。

所以这确实是一个重复的问题，但我对回答。

有趣的是，这个问题也是重复的，但我在给定的链接。

虽然这是一个很好的答案，但我认为必须有一个简单的证据来证明这一说法。
我的尝试：自$o（H\cap K）\：\text{除o（H）和o（K）}$.
因此，$o（H\cap K）\：\text{除gcd（o（H），o（K））}$.如果我们能证明这一点$\text{gcd（o（H），o（K））除法}\：o（H\cap K）$，然后我们就完成了。
请帮帮我。谢谢。

Answer 1

这样做的一种方法是使用同构$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$对一些人来说N美元$.

一个直接的方法是认识到你还没有使用这个事实G美元$是循环的。因此，让以下命令G美元$是N美元$然后让$克$做一个发电机。然后$G=\｛G^j:0\leq j\leq N-1\｝$.

什么是子组H美元$属于G美元$看起来像？好吧，说点权力吧$g^a美元$在中H美元$.然后$g^{an}\（H）$为所有人n美元$.所以如果美元$与…互质N美元$，然后$g\单位：H$和$H=G$因此，只有由某些$g^a美元$具有美元$是…的除数N美元$.

因此，唯一有趣的情况是H美元$和千美元$是的适当子组G美元$.让$g^a美元$和十亿加元$成为各自的发电机。

然后，$|H|=\tfrac{n}{a}$和$|K|=\tfrac{n}{b}$这些的gcd很明显$\tfrac{n}{\text{lcm}（ab）}$。但团队美元\cap K$由生成$g^{text{lcm}（ab）}$，因此声明如下。