设$ABCD$是凸四边形。如果角度$A=90、C=96、D=78$和$BC=2*AB$的测量值，那么角度$ABD$的测量是？

Question

这个问题

让$ABCD$是一个凸四边形。如果角度的测量A=90°，C=96°，D=78°$和BC=2*AB美元$，然后测量角度美元ABD$是。。。？

这个想法

正如你所见，我在上面计算过十亿美元$作为$96$.让点X美元$是…的中点BC美元$然后我们得到等腰三角形$BAX美元$.

我还寻找了内接四边形，但没有找到。

我希望你们中有人能帮我做一个非三角证明！谢谢您！

Answer 1

从一个正五边形开始$P_1 P_2 P_3 P_4 P_5$($P_1\等于D$)，和一个等边三角形$P_1 P_2 B$（参见下图）。让C美元$成为五角大楼内部的焦点$\测量角度C P_1 P_2=\测量角度CP_2P_1=6^\circ$。最后，从P_1美元$垂直于P_5亿美元$，并让美元$是它与该线段的交点。我们想证明这一点$ABCD$具有所需的属性。追逐角度很容易表明，这种四边形的内角与假设中的内角相同。这样就足以证明了$BC\cong 2AB美元$或者同等地$P_5 B\cong公元前$.

为此，扩展$P_5 P_1$到$F（美元）$以便$1FC（美元）$是等腰的。自$\测量角度CP_1F=78^\circ$，我们有$P_1CF=24^\circ$.现在构造等边三角形$P_3P_5E$.角度追逐给出$\测量角度P_2P_1E=42^\circ$(提示：使用以下事实$P_1P_3E（美元）$等腰并确定其内角。。。)，这导致$p1ce美元$与…等腰$\measured角度P_1CE=84^\circ$.因此FCE美元$是等边的。角度追逐开启$P_5FE（美元）$，给出了$\测量角度P_5EF=30^\circ$.因此$P_5FEC（美元）$是一个风筝$\测量角度FP_5C=24^\圈$。同样，追逐角度可以获得500亿美元$是等腰的，这是我们的论文。结果$$\装箱{\测量角度ABD=66^\circ}$$是施工的一个微不足道的结果。

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编辑下面是一个更快的证明。

四边形$ABCD$可以从下图中雕刻出来，其中$P_1P_2P_3P_4P_5$是正规五角大楼($P_2\等于C$)和P_3P_5B美元$是等边三角形，带线$CD$垂直平分$P_4P_5$、和$P_3A\perp P_1B$。请注意（如上述证明）P1P_3B美元$与等距$\测量角度P_1P_3B=24^\circ$.因此$\测量角度P_3P_1B=78^\circ$和$\测量角度CP_1B=\测量角度P_1CB=42^\circ$.存在1亿美元$等腰，我们也有$P_3A（美元）$垂直平分P1B美元$，从哪里$BC\cong 2AB美元$最后，事实是$CD$垂直平分$P_4P_5$担保$\测量角度BCD=42^\circ+54^\cic=96^\cic$，根据需要。

现在，$CD$垂直平分$P_1P_3$.因此$P_1P_3D（美元）$是isoseles。因此$\测量角度DP_1P_3=12^\circ$.因此，我们有$\测量角度DP_1B=66^\circ$，论文基于以下事实$1DB美元$也是等腰的。

Answer 2

请注意BC美元=20亿$，角度A=90^\circ$，让我们找出的垂直平分线BC美元$.现在我们有了十亿美元$和C美元$对称w.r.t美元EF$、和美元$和E美元$对称w.r.t十亿美元$.如果我们延长AB美元$和美元DC$，它们将相交美元FE$在同一点上，两者都会产生6美元$角度。如果我们延长CB美元$和达美元$，他们将6美元$角度。

这个角度可以用三角法直接求出。让AB美元$，美元FE$，美元DC$相交于Q美元$.让$\tan\theta=\tan\angle ABD=\frac{AD}{AB}$.

我们有$\压裂{AD}{AQ}=\tan 12^\circ$，$\压裂{AQ}{AB}=1+\压裂{BQ}{AB}=1+\压裂{BQ}{BE}=1+\frac{1}{sin6^\circ}$.求解$\θ$，

$\tan\theta=\frac{AD}{AB}=\tan12^\circ（1+\frac{1}{\sin6^\cick}）$

$θ=66^\circ$.

这可能是找到角度的最佳方法。但证明可以避免使用三角函数，如下所示。

如果我们延伸所有这些线。。。画出更多来完成等边三角形？我们有一个等边三角形$\三角形PQR$，以及所有60美元左右$角度被切割成6美元$件。四边形的位置美元ABCD$如图所示。

要查找$\角度ABD$，我们可以使用对称性将其移动到其他位置：由于w.r.t对称QP_7美元$和对称性美元PR_2$，$BD=BE=EF=FD$因此，$\角度ABD=\角度AFE$.

我们想证明这一点$\角度AFE=66^\circ$、或、，$\角度AEF=24^\circ$.是否有一条线表示24美元$与…成角度美元AE$?

是的，如果我们再加两行，$公关'$和$PR“$，我们有$\angle APR“”=4\乘以6^\circ=24^\cic$，所以我们只需要证明一下$EF\并行PR“”$.

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如果我们尝试$\压裂{AE}{AP}=\压裂{AF}{AG}$，然后可以将其转换为切线恒等式。$\压裂{AE}{AP}=\压裂{AE}{AQ}\压裂{AQ{AP}=压裂{tan 12^\circ}{tan 42^\circ}$，$\frac{AF}{AG}=\frac}AF}{AP}\frac{AP}{AG{=\frac{tan6^\circ}{tan24^\cic}$.因此，我们必须$\frac{\tan12^\circ}{\tan42^\cick}=\frac{\tan6^\cic}{\tan 24^\cirk}$，或

$\tan 12^\circ\tan 24^\circ\tan 48^\cic\tan 84^\cick=1$，

这是15个独立的四元素整数阶切线恒等式之一，我之前花了一些时间试图理解它。

看到这里的联系很酷，但我不打算再进一步讨论了。让我们回到几何证明。

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有别的方法吗24美元$?

注意到了$\angle APR=12 ^\circ$、和P美元$和R美元$对称w.r.t量化宽松美元$，所以$\角度ERP=12^\circ$同样。现在，如果$F美元$正在联机美元ER$，然后就完成了，$\角度AEF=24^\circ$！

但我们如何证明美元E、F、R$在同一条线上？

现在我们可以把它转换成另一个问题，一个经典问题：

给定等边三角形美元ABC$，D美元$在三角形里面，$\角度DAC=6^\循环$，$\角度DCA=12^\circ$.证明这一点$\angle中央商务区=18 ^\circ$.

还有一些其他等效公式化，并且有许多解决方案。其中一个步骤如下：

找到要点E美元$这样的话$\angle EAD=\angle EDA=6^\circ$.所以$EA=ED$.

$ED\并联交流$，所以$AE=CD$.

查找点$F（美元）$和$克$以便$EF=EA，DG=DC$.

所以，$\angle AFE=\angle FAE=48^\circ$，$\angle FED=2\乘以48^\circ+2\乘以6^\cic=108^\cic$，$\角度EFD=\角度EDF=36^\circ$.$\angle DGC=\angle DCG=48^\circ$.

$AF=重心$，所以$BF=银行保函$，美元BFG$是等边的。$FG\并行DE$，所以$\angle GFD=角度FDE=36 ^\circ$.角度FGD=180^\circ-60^\cick-48^\cic=72^\cic$所以，角烟气脱硫=180$，$FD=成品$.

所以，$FD=餐饮$，$\angle FBD=\frac{1}{2}\angle AFD=\frac{1{2}（48^\circ+36^\cic）=42^\cick$，$\angle中央商务区=18 ^\circ$。证据完整。

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还有一个事实：

54,6,12,48,18,42不是唯一适合等边三角形的非平凡组合。另一个是54,6,18,42,12,48。而且，不，这不是一个重复的组合。改变顺序会带来不同的问题，对于这个问题也有很多解决方案。

在三角形图形上，它意味着H美元$在线路上美元RI$非常有趣的事实！

Answer 3

OP表达了对非钻机证明的偏好，但我发布了以下三角证明，因为我认为它比目前给出的非钻机证明更简单。

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从切线单位圆开始C_Q美元$和C_R美元$带中心Q美元$和R美元$分别是。

点P美元$在某处被选中$C_Q美元$.然后指向美元$其位置应确保$\角度SPQ=90 ^\圈$和$\角度PQR=\角度SRQ$.

我们将证明，如果$\上划线{QS}$与相切C_R美元$，然后是四边形$PQRS$类似于四边形$ABCD$在这个问题上。然后$\角度ABD$必须等于$\角度PQS$，很容易找到。

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假设$\上划线{QS}$与相切C_R美元$在点T美元$.让$\angle SRT=\θ$.然后$\角度PQT=θ+30^\circ$.

$QS=\dfrac{1}{\cos（\theta+30^\circ）}$和$QS=QT+TS=\sqrt3+tanθ$

因此，$\dfrac{1}{\cos（\theta+30^\circ）}=\sqrt3+\tan\theta$

$\left（\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta-\frac12\sqrt{1-\cos^2\theta}\ right）\left$

$4\cos^2\theta-2\cos\theta-1=0$

$\cos\theta=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$

因此 $θ=36^\circ$

这意味着$\角度PQR=\角度SRQ=96^\circ$、和角度PSR=78 ^\circ$因此，四边形$PQRS$类似于四边形$ABCD$在这个问题上。因此，$\angle ABD=\angle PQS=\theta+30^\circ=\box{66^\cic}$.

Answer 4

让$AB=1$，然后BC=2美元$此外，让$AD=x$和$CD=y$我们知道

$\角度A=90^\大约，\角度C=96^\大约，\角度D=78^\大约$所以$\角度B=360^\圈-90^\圈-96^\圈-78^\圈=96^圈$.

利用余弦定律，我们有两条对角线，

$AC^2=1^2+2^2-4\cos 96^\circ=x^2+y^2-2 x y\cos 78^\cic$

$BD^2=1 ^2+x ^2-2 x \cos 90 ^\circ=2 ^2+y ^2-4 y \cos 96 ^\cic$

在中求解这两个二次方程x美元$和年美元$给了我们

美元x=2.246037，y=1.236068$

现在，为了$\三角形ABD$，我们有

$BD=\sqrt{1^2+x^2-2 x\cos 90^\circ}=2.458593$

最后，根据正弦定律$\三角形ABD$

$\sin\angle ABD=\sin 90^\circ\left（\dfrac{x}{BD}\right）=0.913545$

因此，$\angle ABD=\sin^{-1}（0.913545）=66^\circ$

Answer 5

这就用一个类似于@dfnu的方法取代了之前一次不令人满意的尝试。

让美元FE$，美元ED$成为普通人的一方$30$-gon，所以$\角度FED=168^o$.

在上构造等边三角形美元FE$，上的正五边形美元ED$，并加入美元FD$，佛罗里达州美元$，FJ美元$.因此$\角度EDF=\角度DFE=6^o$.

让EB美元$二等分$\角度FED$，品牌$BC\并行ED$，构造$\角度EDC=\角度BED=84^o$，并加入BD美元$，美元EC$.

因此每FD美元EB$和$\角度EBC=\角度DCB=96^o$.自$$\angle KFH=压裂{1}{2}（60^o-2\cdot6^o）=24^o$$然后用相似的三角形$$\角度FKH=\角度EKA=\角度EBH=\角DBA=66^o$$由于等腰梯形的顶点EDCB美元$那么是非循环的$$\angle ECB=\angle CBD=96^o-66^o=30^o$$制造商每EC十亿美元$。然后是三角形BNC美元$，$BN=\压裂{1}{2} 不列颠哥伦比亚省$，自$APNB（美元）$那么是一只风筝$$AB=BN=\压裂{1}{2} 不列颠哥伦比亚省$$和$ABCD$是给定的数字。