关于线积分的符号$\vec F\cdot\mathrm ds$

Question

让$\vec F\in\mathscr X（\mathbb R^3）$是流形上的向量场$\mathbb R^3$被赋予欧几里德度量$\mathrm ds^2$.

内部产品$\vec F\mathop{\lrcource}\mathrm ds^2$属于美元\vec F$使用公制$\mathrm ds^2$是一个$ 1 $-上的表单$\mathbb R^3$：在某一点上$p\in\mathbb R^3$它吃一个切线向量$\vec v_p\in\mathrm T_p\mathbb R^3$然后吐出标量$\bigl（\vec F\mathop{\lrcorent}\mathrm ds^2\bigr）_p$.

在初等（物理）教科书中，线积分$\int_\gamma\vec F\mathop{\lrcorner}\mathrm ds$沿着一些曲线$\伽马$表示为$\int_\gamma\vec F\cdot\mathrm d\vec秒$，表明$\vec F\cdot\mathrm d\vec秒$是用来表示上述内容的正式符号吗$ 1 $-形式$\vec F\mathop{\lrcource}\mathrm ds^2$.

我觉得这有点误导。我的问题是：为什么是内部产品？情况如何$\mathrm d\矢量s$定义？这只是一个符号快捷方式吗？

Answer 1

太长，无法发表评论。我相信我们在评论中同意正确的符号应该是$$F\mathop\lrcorner，ds^2=\iota_F\，ds^2=F\cdot ds=F_x\，dx+F_y\，dy+F_z\，dz\，。$$（如果您愿意，可以将$\vec{}$结束$F（美元）$或美元$但还没结束$ds^2\$)

在这里$ds^2$是度量张量$dx\otimes dx+dy\otime dy+dz\otimes-dz$其与向量场的因式积的定义方式应与通常的定义方式相同n美元$-表格[1]第447页：书写$F=F_x\，\partial_x+F_y\，\pertial_y+F_z\，\partial_z$和合同$$F\mathop\lrcorn\，ds^2=F_x\，\下大括号{dx（\partial_x）}_{1}\，dx\，+F_y\，\上大括号{dy（\parcial_y）}_}\，dy+F_z\，\下方大括号{d_z（\parial_z）}_1}\，d_，。$$

在$F\cdot数据$向量场$F（美元）$应解释为其组件的元组，并且美元$作为向量值的一种形式，具有“分量”$dx、dy、dz\、$

[1] L.H.Loomis、S.Sternberg、，高级微积分。1990年修订版。